Wyznaczamy wszystkie wartości parametru a, dla których układ równań

$\{\begin{array}{l}ax+y+1=0\\ 2x+\left(a+1\right)y-1=0\end{array}$  

ma dokładnie jedno rozwiązaniem, którym jest para liczb (x,y) spełniająca warunek

$\left|x-y\right|\ge 1\left(\ast \right)$

---

Rozwiązujemy dany układ równań np. metodą podstawiania. Wyznaczamy z pierwszego równania y i wstawiamy do drugiego równania układu.

$\{\begin{array}{l}y=-ax-1\\ 2x+\left(a+1\right)y-1=0\end{array}$  

$2x+\left(a+1\right)\cdot \left(-ax-1\right)-1=0$  

$2x-a^{2}x-a-ax-1-1=0$  

$-a^{2}x-ax+2x-a-2=0\mid \cdot \left(-1\right)$  

$a^{2}x+ax-2x+a+2=0$  

Stąd

$\left(a^2+a-2\right)x=-\left(a+2\right)$  

Powyższe równanie ( i tym samym rozważany układ równań) będzie miało jedno rozwiązanie, gdy 

$a^2+a-2\ne 0$  

Rozwiązujemy równanie kwadratowe.

$a^2+a-2=0$  

$\Delta =1^2-4\cdot 1\cdot \left(-2\right)=1+8=9$  

$\sqrt{\Delta }=3$  

$a_1=\frac{-1-3}{2\cdot 1}=\frac{-4}{2}=-2$  

$a_2=\frac{-1+3}{2}=\frac{2}{2}=1$  

Zatem układ równań będzie miało rozwiązanie, gdy

$a\in \mathbb{R}\backslash \left\{-2,1\right\}$  

---

Z otrzymanych rozwiązań również mamy, że

$a^2+a-2=\left(a+2\right)\left(a-1\right)$  

Zatem rozważane równanie ze zmienną x sprowadza się do

$\left(a+2\right)\left(a-1\right)x=-\left(a+2\right):\mid \left(a+2\right)\left(a-1\right)$  

$x=\frac{-\cancel{\left(a+2\right)}}{\cancel{\left(a+2\right)}\left(a-1\right)}=\frac{-1}{a-1}$  

Wstawiamy otrzymane rozwiązanie do pierwszego równania ostatniego układu i obliczamy y. 

$y=-ax-1=-a\cdot \frac{-1}{a-1}-1=\frac{a}{a-1}-\frac{a-1}{a-1}=\frac{a-a+1}{a-1}=\frac{1}{a-1}$  

Stąd mamy, że

$\{\begin{array}{l}x=\frac{-1}{a-1}\\ y=\frac{1}{a-1}\end{array}$  

---

Wyznaczamy wartości a, dla których spełniony będzie warunek (*).

$\left|x-y\right|=\left|-\frac{1}{a-1}-\frac{1}{a-1}\right|=\left|\frac{-2}{a-1}\right|=\frac{2}{\left|a-1\right|}$  

Stąd warunek  z zadania sprowadza się do

$\frac{2}{\left|a-1\right|}\ge 1\mid \cdot \left|a-1\right|$  

$2\ge \left|a-1\right|$  

Czyli

$\left|a-1\right|\le 2$  

Korzystamy z własności wartości bezwzględnej i otrzymujemy:

$a-1\le 2\wedge a-1\ge -2$  

$a\le 3\wedge a\ge -1$  

Stąd mamy, że

$a\in \left[-1,3\right]$  

---

Otrzymaliśmy, że układ równań będzie miał dokładnie jedno rozwiązanie, gdy

$a\in \mathbb{R}\backslash \left\{-2,1\right\}$  

Rozwiązanie będzie spełniało warunek (*), gdy

$a\in \left[-1;3\right]$  

Zatem odpowiedzią będzie część wspólna obu zbiorów. Stąd

$a\in \mathbb{R}\backslash \left\{-2,1\right\}\wedge a\in \left[-1;3\right]$  

Czyli

$\underline{\underline{a\in \left[-1,1\right)\cup \left(1;3\right]}}$