Rozważamy trapez równoramienny ABCD, w którym

$\left|AB\right|=36\left[\text{cm}\right],\left|CD\right|=24\left[\text{cm}\right]$  

Wiemy, że przekątne tego trapezu przecinają się w punkcie P, a odległość tego punktu od dłuższej podstawy jest równa 15 cm.

---

Sporządzamy rysunek pomocniczy. Przyjmujemy oznaczenia takie jak na rysunku.

Rysunek:

Zauważmy, że w trójkątach CSD i ASB mamy: 

• $\left|\sphericalangle APB\right|=\left|\sphericalangle DPC\right|=\alpha \text{(kąty wierzchołkowe)}$  
• $\left|\sphericalangle PAS\right|=\left|\sphericalangle PCD\right|=\alpha \text{(kąty naprzemianległe)}$  
• $\left|\sphericalangle ABP\right|=\left|\sphericalangle CDP\right|=\alpha \text{(kąty naprzemianległe)}$  

Zatem na podstawie cechy kąt-kąt-kąt trójkąty CSD i ASB są podobne. Skalę podobieństwa tych trójkątów możemy obliczyć jako stosunek długości boków, które znajdują się naprzeciw wspólnego wierzchołka tych trójkątów, czyli wierzchołka P.

$k=\frac{|CD|}{|AB|}=\frac{24}{36}=\frac{2}{3}$  

---

Skoro trójkąty CPD i APB są podobne, to wysokości poprowadzone na odpowiadające sobie boki w tych trójkątach są do siebie proporcjonalne w takiej samej skali jak boki tych trójkątów. Stąd

$\frac{\left|FP\right|}{\left|PE\right|}=\frac{2}{3}$  

$\frac{\left|FP\right|}{15}=\frac{2}{3}$  

Korzystamy z własności proporcji i otrzymujemy

$3\left|FP\right|=2\cdot 15$  

$3\left|FP\right|=30\mid :3$  

$\left|FP\right|=10\left[\text{cm}\right]$  

Zatem wysokość trapezu ma długość

$h=\left|EF\right|=\left|FP\right|+\left|PE\right|=10+15=25\left[\text{cm}\right]$  

Obliczamy pole trapezu

$P=\frac{|AB|+|CD|}{2}\cdot \left|EF\right|=\frac{36+24}{2}\cdot 25=\frac{60}{2}\cdot 25=30\cdot 25=\underline{\underline{750}}\left[{\text{cm}}^2\right]$

---

Aby wyznaczyć obwód trapezu, musimy wyznaczyć długość jego ramienia. Zauważmy, że odcinek AG ma długość

$\left|AG\right|=\frac{|AB|-|CD|}{2}=\frac{36-24}{2}=\frac{12}{2}=6\left[\text{cm}\right]$  

Zatem z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie prostokątnym AGD mamy:

${\left|AG\right|}^2+{\left|DG\right|}^2={\left|AD\right|}^2$  

$6^2+h^2=c^2$  

$6^2+{25}^2=c^2$  

$36+625=c^2$  

Stąd

$c^2=661\wedge c>0$  

Stąd ramię trapezu ma długość

$c=\sqrt{661}\left[\text{cm}\right]$  

Obliczamy obwód trapezu:

$L=36+24+2\sqrt{661}=60+2\sqrt{661}=\underline{\underline{2\left(30+\sqrt{661}\right)}}\left[\text{cm}\right]$