Twierdzenie o dwusiecznej kąta w trójkącie

Dwusieczna kąta w trójkącie dzieli przeciwległy bok tego trójkąta na odcinki proporcjonalne do jego pozostałych boków.

---

Rozważamy trójkąt ABC, w którym 

$\left|AB\right|=5,\left|BC\right|=\sqrt{21},\left|AC\right|=4$  

Odcinek AD zawiera się w dwusiecznej kąta CAD. 

Mamy obliczyć długość odcinka BD. 

Oznaczmy:

$\left|BD\right|=x$  

Wtedy

$\left|DC\right|=\sqrt{21}-x$  

^{gdyż |BD|+|DC|=|BC|}

Sporządzamy rysunek pomocniczy. Przyjmujemy oznaczenia takie jak na rysunku.

Rysunek:

Korzystamy z twierdzenia o dwusiecznej i obliczamy długość odcinka BD, czyli x. 

$\frac{|AB|}{|AC|}=\frac{|BD|}{|DC|}$  

Stąd

$\frac{5}{4}=\frac{x}{\sqrt{21}-x}$  

Korzystamy z własności proporcji i otrzymujemy:

$4x=5\left(\sqrt{21}-x\right)$  

$4x=5\sqrt{21}-5x\mid +5x$  

$9x=5\sqrt{21}\mid :9$  

Stąd długość odcinka BD jest równa

$\underline{\underline{x=\frac{5}{9}\sqrt{21}}}$   

Zauważmy, że otrzymaliśmy odpowiedź B, ponieważ z twierdzenia o dwusiecznej wynika, że zachodzi zależność 3. 

---

Odp. B3