Wyznaczamy wszystkie wartości parametru m, dla których równanie

$\left(x-3\right)\left(x^2+\left(m-1\right)x-6m^2+2m\right)=0$  

ma dokładnie dwa rozwiązania.

---

Powyższe równanie sprowadza się do dwóch równań:

$x-3=0\vee x^2+\left(m-1\right)x-6m^2+2m=0$  

$x=3$  

Zatem jednym z rozwiązań równania jest liczba 3. Aby równanie miało dokładnie dwa rozwiązania, to równanie kwadratowe

$x^2+\left(m-1\right)x-6m^2+2m=0$  

1) musi mieć dokładnie jedno rozwiązanie, różne od 3

lub

2) ma dwa różne rozwiązania, z których jednym jest x = 3. 

---

Rozważamy każdy z powyższych dwóch  przypadków:

1)

Aby równanie miało dokładnie jedno rozwiązanie, różne od 3, zakładamy, że

$\{\begin{array}{l}\Delta =0\\ x\ne 3\end{array}$  

• Sprawdzamy, kiedy wyróżnik trójmianu jest równy 0:

$\Delta ={\left(m-1\right)}^2-4\cdot 1\cdot \left(-6m^2+2m\right)=m^2-2m+1+24m^2-8m=$  

$=25m^2-10m+1={\left(5m\right)}^2-2\cdot 5m\cdot 1+1^2={\left(5m-1\right)}^2$  

Zatem otrzymujemy równanie:

$\underset{\Delta }{\underbrace{{\left(5m-1\right)}^2}}=0$  

$5m-1=0$  

$5m=1$  

Stąd

$m=\frac{1}{5}$  

• Sprawdzamy, kiedy rozwiązaniem równania jest liczba 3:

  $3^2+\left(m-1\right)\cdot 3-6m^2+2m=0$  

$9+3m-3-6m^2+2m=0$  

$-6m^2+5m+6=0$  

Rozwiązujemy równanie kwadratowe:

${\Delta }_m=5^2-4\cdot \left(-6\right)\cdot 6=25+144=169$  

$\sqrt{{\Delta }_m}=13$  

$m_1=\frac{-5-13}{2\cdot \left(-6\right)}=\frac{-18}{-12}=\frac{3}{2}$  

$m_2=\frac{-5+13}{-12}=\frac{8}{-12}=-\frac{2}{3}$  

Zatem liczba 3 nie jest rozwiązaniem równania kwadratowego, gdy 

$m\in \mathbb{R}\backslash \left\{-\frac{2}{3},\frac{3}{2}\right\}$  

Otrzymaliśmy, że

$\{\begin{array}{l}\Delta =0\iff m=\frac{1}{5}\\ x\ne 3\iff m\in \mathbb{R}\backslash \left\{-\frac{2}{3},\frac{3}{2}\right\}\end{array}$  

Bierzemy część wspólną otrzymanych zbiorów rozwiązań z poszczególnych warunków i mamy, że

$m=\underline{\underline{\frac{1}{5}}}$  

---

2)

Równanie kwadratowe ma mieć dwa różne rozwiązania, z których jednym będzie liczba 3. Zakładamy, zatem, że

$\{\begin{array}{l}\Delta >0\\ x=3\end{array}$  

• Wyznaczamy, dla jakich wartości parametru m wyróżnik trójmianu jest dodatni. 

Z przypadku 1) wiemy, że

$\Delta ={\left(5m-1\right)}^2$  

Zatem otrzymujemy nierówność:

${\left(5m-1\right)}^2>0$  

Zauważmy, że lewa strona nierówności jest kwadratem pewnej liczby rzeczywistej. Kwadrat liczby jest zawsze nieujemny, zatem powyższa nierówność sprowadza się do:

$5m-1\ne 0$  

Czyli

$5m\ne 1$  

$m\ne \frac{1}{5}$   

Stąd

$m\in \mathbb{R}\backslash \left\{\frac{1}{5}\right\}$  

• Wyznaczamy wartości parametru m, dla których jednym z rozwiązań równania jest liczba 3. 

Z przypadku 1) wiemy, że liczba 3 jest rozwiązaniem równania dla 

$m\in \left\{-\frac{2}{3};\frac{3}{2}\right\}$  

Otrzymaliśmy, że

$\{\begin{array}{l}\Delta >0\iff m\in \mathbb{R}\backslash \left\{\frac{1}{5}\right\}\\ x=3\iff m\in \left\{-\frac{2}{3},\frac{3}{2}\right\}\end{array}$  

Bierzemy część wspólną otrzymanych zbiorów rozwiązań z poszczególnych warunków i mamy, że

$m\in \underline{\underline{\left\{-\frac{2}{3};\frac{3}{2}\right\}}}$  

---

Odpowiedzią do zadania jest suma zbiorów rozwiązań z przypadków 1) i 2). Zatem

$m\in \left\{\frac{1}{5}\right\}\cup \left\{-\frac{2}{3},\frac{3}{2}\right\}$  

Czyli

$m\in \underline{\underline{\left\{-\frac{2}{3};\frac{1}{5},\frac{3}{2}\right\}}}$