Twierdzenie Bézouta

Liczba a jest pierwiastkiem wielomianu w wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian w jest podzielny przez dwumian (x-a).

---

Rozważamy wielomian 

$W\left(x\right)=4x^3-19x^2-12x+18$  

Mamy wyznaczyć wszystkie pierwiastki wielomianu W.

---

Korzystamy z fragmentu wykresu wielomianu W, który został zamieszczony w treści zadania i odczytujemy, że jednym z pierwiastków wielomianu W jest liczba należąca do przedziału

$\left[0,6;0,8\right]=\left[\frac{3}{5};\frac{4}{5}\right]$  

Sprawdzamy, czy wielomian W ma pierwiastek wymierny należący do powyższego przedziału. Jeżeli wielomian ma pierwiastek wymierny, to jest on postaci x=^p/_q  gdzie p jest dzielnikiem wyrazu wolnego, czyli liczby 18, a q jest dzielnikiem współczynnika przy x³ , czyli liczby 4.

Wypisujemy dzielniki liczb 18 i 4

$D_{18}=\left\{\pm 1,\pm 2,\pm 3,\pm 6,\pm 9,\pm 18\right\}$  

$D_4=\left\{\pm 1,\pm 2,\pm 4\right\}$  

Zatem, jeżeli wielomian W ma pierwiastki wymierne, to należą one do zbioru:

$\left\{\pm 1,\pm \frac{1}{2},\pm \frac{1}{4},\pm 2,\pm 3,\pm \frac{3}{2},\pm \frac{3}{4},\pm 6,\pm 9,\pm \frac{9}{2},\pm \frac{9}{4},\pm 18\right\}$  

Zauważmy, że jedyną liczbą, która należy do przedziału  [0,6; 0,8] jest

  $x=\frac{3}{4}$  

Sprawdzamy, czy x = ³/₄ jest pierwiastkiem wielomianu W:

$W\left(\frac{3}{4}\right)=4\cdot {\left(\frac{3}{4}\right)}^3-19\cdot {\left(\frac{3}{4}\right)}^2-12\cdot \frac{3}{4}+18=4\cdot \frac{27}{64}-19\cdot \frac{9}{16}-9+18=$

$=\frac{27}{16}-\frac{171}{16}+9=-\frac{144}{16}+9=-9+9=0$  

Zatem

$x=\underline{\underline{\frac{3}{4}}}$  

jest pierwiastkiem wielomianu W. Na mocy twierdzenia Bézouta wielomian W jest podzielny przez dwumian (x -³/₄ ). Dzielimy wielomian W przed dwumian (x -³/₄ ), stosując np. schemat Hornera:

	$4$	$-19$	$-12$	$18$
$\frac{3}{4}$		$3$	$-12$	$-18$
	$4$	$-16$	$-24$	$0$

Zatem 

$w\left(x\right):\left(x-\frac{3}{4}\right)=4x^2-16x-24$  

Więc:

$w\left(x\right)=\left(x-\frac{3}{4}\right)\left(4x^2-16x-24\right)$  

Wyznaczamy pozostałe pierwiastki wielomianu W. Sprawdzamy, czy trójmian kwadratowy w powyższym wzorze ma pierwiastki:

$4x^2-16x-24=0\mid :4$  

$x^2-4x-6=0$  

$\Delta ={\left(-4\right)}^2-4\cdot 1\cdot \left(-6\right)=16+24=40$  

$\sqrt{\Delta }=\sqrt{40}=2\sqrt{10}$  

$x_1=\frac{4-2\sqrt{10}}{2}=\underline{\underline{2-\sqrt{10}}}$  

$x_2=\frac{4+2\sqrt{10}}{2}=\underline{\underline{2+\sqrt{10}}}$   

---

Otrzymujemy ostatecznie, że wielomian W ma trzy pierwiastki:

$x=\frac{3}{4},x=2-\sqrt{10},x=2+\sqrt{10}$