W partii jest 50 żarówek. Oznaczamy przez n liczbę żarówek bez wady. Wiemy, że n⩽50.

Wtedy liczbę żarówek wadliwych można zapisać jako

$50-n$

Z partii losujemy dwie żarówki.  Liczba wszystkich możliwości wyboru 2 spośród 50 żarówek jest równa:

$\left|\Omega \right|=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{50}{2}\right)=\frac{50!}{2!\cdot 48!}=\frac{48!\cdot 49\cdot 50}{2\cdot 48!}=\frac{49\cdot 50}{2}$

---

Odrzuca się partię żarówek, jeśli co najmniej jedna żarówka jest uszkodzona. Oznaczmy zdarzenie:

A - partia żarówek została odrzucona (przynajmniej jedna żarówka jest wadliwa)

Zdarzeniem przeciwnym do zdarzenia A jest

A' - partia żarówek nie została odrzucona (obie żarówki są bez wady)

Partia żarówek nie została odrzucona, jeśli dwie wylosowane żarówki są bez wady. Liczba możliwości wyboru 2 spośród 50-n żarówek bez wady jest równa:

$\left|A^{\prime }\right|=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{50-n}{2}\right)=\frac{\left(50-n\right)!}{2!\cdot \left(50-n-2\right)!}=\frac{\left(48-n\right)!\cdot \left(49-n\right)\left(50-n\right)}{2\left(48-n\right)!}=\frac{\left(49-n\right)\left(50-n\right)}{2}$

Prawdopodobieństwo zdarzenia A' jest równe

$P\left(A^{\prime }\right)=\frac{\left|A^{\prime }\right|}{\left|\Omega \right|}=\frac{\frac{\left(49-n\right)\left(50-n\right)}{2}}{\frac{49\cdot 50}{2}}=\frac{\left(49-n\right)\left(50-n\right)}{49\cdot 50}=\frac{2450-49n-50n+n^2}{2450}$

$=\frac{n^2-99n+2450}{2450}$

Ze wzoru na prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego wyznaczamy prawdopodobieństwo zdarzenia A.

$P\left(A\right)=1-P\left(A^{\prime }\right)=1-\frac{n^2-99n+2450}{2450}$

---

Z treści zadania wiemy, że

$P\left(A\right)\le 0,04$

$1-\frac{n^2-99n+2450}{2450}\le 0,04$

$-\frac{n^2-99n+2450}{2450}\le -0,96|\cdot \left(-2450\right)$

$n^2-99n+2450\ge 2352$

Czyli

$n^2-99n+98\ge 0$ 

Rozwiązujemy nierówność kwadratową.

${\Delta =\left(-99_{}\right)}^2-4\cdot 1\cdot 98=9801-392=9409$

$\sqrt{\Delta }=\sqrt{9409}=97$

$n_1=\frac{99-97}{2}=\frac{2}{2}=1$

$n{}_2=\frac{99+97}{2}=\frac{196}{2}=98$

Szkicujemy parabolę. Uwzględniamy wyłącznie rozwiązania nierówności będące liczbami naturalnymi.

Rysunek:

$n\in (-\infty ;1]\cup [98;\infty )$

Wiemy, że

$n\in \mathbb{N}\wedge n\le 50$

Zatem

$n\in \left\{0,1\right\}$

---

Odp. W partii może być co najwyżej jedna żarówka wadliwa.