Funkcja

$x\left(t\right)=\frac{1}{27}{t}^3-t^2+8t,t\in \left[0;14\right]$

opisuje położenie cząstki poruszającej się po linii prostej. x jest wyrażone w metrach, a t - w sekundach.

Mamy obliczyć czas, po którym cząstka będzie najdalej od swojego położenia początkowego.

---

Położenie początkowe, to położenie cząstki w chwili t=0. Obliczamy położenie początkowe.

$x\left(0\right)=\frac{1}{27}\cdot 0^3-0^2+8\cdot 0=0$

Funkcja x jest ciągła i różniczkowalna w swojej dziedzinie. Wyznaczamy pochodną funkcji x.

$x^{\prime }\left(t\right)=\frac{1}{27}\cdot 3t^2-2t+8=\frac{1}{9}{t}^2-2t+8$

Obliczamy miejsca zerowe pochodnej.

$x^{\prime }\left(t\right)=0⟺\frac{1}{9}{t}^2-2t+8=0$

$\Delta ={\left(-2\right)}^2-4\cdot \frac{1}{9}\cdot 8=4-\frac{32}{9}=\frac{36}{9}-\frac{32}{9}=\frac{4}{9}$

$\sqrt{\Delta }=\frac{2}{3}$

$t_1=\frac{2-\frac{2}{3}}{2\cdot \frac{1}{9}}=\frac{\frac{4}{3}}{\frac{2}{9}}=\frac{4}{3}\cdot \frac{9}{2}=6\in [0;14]$

$t_2=\frac{2+\frac{2}{3}}{\frac{2}{9}}=\frac{\frac{8}{3}}{\frac{2}{9}}=\frac{8}{3}\cdot \frac{9}{2}=12\in \left[0;14\right]$

---

Skoro w położeniu początkowym funkcja x ma wartość 0, to najdalej od punktu początkowego będzie, gdy funkcja x(t) będzie przyjmowała wartość największą.  Wyznaczymy zatem największą  wartość funkcji x(t).  Szukamy jej na krańcach dziedziny funkcji lub w miejscach zerowych pochodnej.  Obliczamy wartości funkcji x dla argumentów 0, 6, 12, 14. 

$x\left(0\right)=0$

$x\left(6\right)=\frac{1}{27}\cdot 6^3-6^2+8\cdot 6=\frac{6^3}{3^3}-36+48=2^3+12=20$

$x\left(12\right)=\frac{1}{27}\cdot 12^3-12^2+8\cdot 12=\frac{12^3}{3^3}-144+96=4^3-48=64-48=16$

$x\left(14\right)=\frac{1}{27}\cdot 14^3-14^2+8\cdot 14=\frac{1}{27}\cdot 2744-196+112\approx 101,63-196+112\approx 17,63$

Zauważmy, że największą wartością funkcji x jest

$x\left(6\right)=20$

To oznacza, że najdalej od położenia początkowego cząstka jest dla

$t=6$

Odp. Cząstka będzie najdalej od swojego położenia początkowego po 6 sekundach.