Rozważamy ostrosłup prawidłowy trójkątny. Krawędź podstawy (bok trójkąta równobocznego) ma długość 2a. 

Krawędź boczna ma długość dwa razy większą, czyli:

$b=2\cdot 2a=4a$  

Mamy obliczyć odległość wierzchołka podstawy od przeciwległej ściany bocznej.

---

Sporządzamy rysunek pomocniczy. Przyjmujemy oznaczenia takie jak na rysunku.

Rysunek:

---

Skoro ostrosłup jest prawidłowy, to odległość każdego wierzchołka od przeciwległej ściany bocznej jest taka sama.

Odległość wierzchołka A od ściany bocznej BCS jest równa wysokości ostrosłupa AE poprowadzonej na ścianę BCS. 

---

Obliczamy objętość ostrosłupa. Ze wzoru na pole trójkąta równobocznego obliczamy pole podstawy.

$P_p=\frac{{\left(2a\right)}^2\sqrt{3}}{4}=\frac{4a^2\sqrt{3}}{4}=a^2\sqrt{3}$  

Odcinek OB stanowi ²/₃ wysokości podstawy, zatem ze wzoru na wysokość trójkąta równobocznego otrzymujemy:

$\left|OB\right|=\frac{2}{3}\cdot \frac{2a\sqrt{3}}{2}=\frac{2\sqrt{3}a}{3}$  

Z twierdzenia Pitagorasa  w trójkącie prostokątnym OBS obliczamy wysokość H ostrosłupa.

$H^2+{\left|OB\right|}^2={\left(4a\right)}^2$  

$H^2+{\left(\frac{2\sqrt{3}a}{3}\right)}^2=16a^2$  

$H^2+\frac{12a^2}{9}=16a^2$  

$H^2=16a^2-\frac{12}{9}{a}^2$  

$H^2=\frac{144a^2-12a^2}{9}$  

$H^2=\frac{132a^2}{9}\wedge H>0$  

Stąd

$H=\frac{\sqrt{132}a}{3}=\frac{2\sqrt{33}a}{3}$  

Ze wzoru na objętość ostrosłupa otrzymujemy:

$V=\frac{1}{3}\cdot P_p\cdot H=\frac{1}{3}\cdot a^2\sqrt{3}\cdot \frac{2\sqrt{33}a}{3}=\frac{a^3\cdot 2\sqrt{99}}{9}=\frac{2\cdot a^3\cdot {\cancel{3}}^1\sqrt{11}}{9_3}=\frac{2\sqrt{11}{a}^3}{3}$  

---

Obliczamy pole ściany bocznej BCS. 

Zauważmy, że

$\left|BD\right|=\frac{1}{2}\cdot 2a=a$  

Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie prostokątnym BDS obliczamy wysokość ściany bocznej.

$h^2+a^2={\left(4a\right)}^2$  

$h^2+a^2=16a^2$  

$h^2=15a^2\wedge h>0$  

Stąd

$h=\sqrt{15}a$  

Zatem pole trójkąta BCS jest równe:

$P=\frac{2a\cdot \sqrt{15}a}{2}=a^2\sqrt{15}$  

---

Zapisujemy objętość ostrosłupa za pomocą pola ściany BCS i wysokości ostrosłupa poprowadzonej na tę ścianę

$V=\frac{1}{3}\cdot P_{△\text{BCS}}\cdot \left|AE\right|=\frac{1}{3}\cdot a^2\sqrt{15}\cdot x=\frac{a^2\sqrt{15}}{3}\cdot x$  

Porównujemy objętości i wyznaczamy x. 

$\frac{a^2\sqrt{15}}{3}\cdot x=\frac{2\sqrt{11}{a}^3}{3}\mid \cdot 3$  

$a^2\sqrt{15}x=2\sqrt{11}{a}^3\mid :a^2$  

$\sqrt{15}x=2\sqrt{11}a\mid :\sqrt{15}$  

$x=\frac{2\sqrt{11}a}{\sqrt{15}}$  

Usuwamy niewymierność z mianownika ułamka i otrzymujemy, że odległość wierzchołka podstawy od przeciwległej ściany bocznej wynosi:

$x=\frac{2\sqrt{11}a\cdot \sqrt{15}}{\sqrt{15}\cdot \sqrt{15}}=\underline{\underline{\frac{2\sqrt{165}a}{15}}}$