Ze zbioru {1,2,_..., 20} losujemy kolejno dwie liczby bez zwracania.

Mamy ocenić prawdziwość zdań.

---

Pierwsze zdanie:

Prawdopodobieństwo tego, że ich suma jest parzysta, jest równe ¹/₃.

Obliczenia:

Obliczamy liczbę wszystkich możliwości. Pierwszą liczbę możemy wylosować na 20 sposobów, a drugą - na 19 sposobów. Stąd

$\left|\Omega \right|=20\cdot 19$  

Oznaczmy przez A zdarzenie: suma wylosowanych liczb jest parzysta.

Aby suma dwóch liczb była parzysta, to obie liczby są jednocześnie parzyste lub nieparzyste. Pierwszą liczbę parzystą możemy wylosować na 10 sposobów, a drugą - na 9 sposobów. Analogicznie w przypadku liczb nieparzystych: na wybór pierwszej mamy 10 możliwości, a na wylosowanie drugiej - 9 możliwości. Korzystamy z reguły dodawania i obliczamy, ile jest wszystkich możliwości.

$\left|A\right|=10\cdot 9+10\cdot 9=180$  

Zatem prawdopodobieństwo zdarzenia A jest równe:

$P\left(A\right)=\frac{\left|A\right|}{\left|\Omega \right|}=\frac{{\cancel{180}}^9}{{\cancel{20}}_1\cdot 19}=\underline{\underline{\frac{9}{19}}}\ne \frac{1}{3}$  

Zatem pierwsze zdanie jest fałszywe.

---

Drugie zdanie:

Prawdopodobieństwo tego, że ich iloczyn jest parzysty, jest równe 1/4. 

Obliczenia:

Oznaczmy przez B zdarzenie: iloczyn dwóch wylosowanych liczb jest parzysty. Wtedy zdarzeniem przeciwnym jest B' - iloczyn wylosowanych liczb jest nieparzysty.

Aby iloczyn liczb był nieparzysty, to każda z liczb musi być nieparzysta. Pierwszą liczbę nieparzystą możemy wylosować na 10 sposobów, a następną na 9 sposobów. Stąd

$\left|B{}^{\prime }\right|=10\cdot 9=90$  

Obliczamy prawdopodobieństwo zdarzenia B'

$P\left(B{}^{\prime }\right)=\frac{\left|B{}^{\prime }\right|}{\left|\Omega \right|}=\frac{90}{20\cdot 19}=\frac{9}{2\cdot 19}=\frac{9}{38}$   

Ze wzoru na prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego mamy:

$P\left(B\right)=1-P\left(B{}^{\prime }\right)=1-\frac{9}{38}=\underline{\underline{\frac{29}{38}}}\ne \frac{1}{4}$  

Zatem drugie zdanie jest fałszywe.

---

Odp. FF.