Równanie okręgu

Okrąg o środku w punkcie S=(a,b) i promieniu r>0 ma równanie

${\left(x-a\right)}^2+{\left(y-b\right)}^2=r^2$

---

a)

Rozważamy prostą l i okrąg K:

$l:y=-3$  

$K:{\left(x-3\right)}^2+{\left(y+1\right)}^2=4$  

Teza: 

Prosta l jest styczna do okręgu K. 

Dowód:

Aby pokazać, że prosta jest styczna do okręgu, wystarczy udowodnić, że prosta z okręgiem ma dokładnie jeden punkt wspólny, czyli innymi słowy - odległość środka okręgu od stycznej jest równa długości promienia.

Z równania okręgu odczytujemy środek okręgu i promień:

$S=\left(3,-1\right),r=2$  

Sprowadzamy prostą l do postaci ogólnej:

$l:y+3=0$  

$l:0x+y+3=0$  

Obliczamy odległość punktu S od prostej l. Korzystamy ze wzoru na odległość punktu od prostej.

$d=\frac{\left|0\cdot 3+1\cdot \left(-1\right)+3\right|}{\sqrt{0^2+1^2}}=\frac{\left|0-1+3\right|}{\sqrt{1}}=2$

Zauważmy, że

$d=r=2$  

To oznacza, że prosta l jest styczna do okręgu K, 

co należało wykazać.

---

b)

Rozważamy prostą l i okrąg K:

$l:y=x$  

$K:{\left(x+5\right)}^2+{\left(y-1\right)}^2=18$  

Teza: 

Prosta l jest styczna do okręgu K. 

Dowód:

Aby pokazać, że prosta jest styczna do okręgu, wystarczy udowodnić, że prosta z okręgiem ma dokładnie jeden punkt wspólny, czyli innymi słowy - odległość środka okręgu od stycznej jest równa długości promienia.

Z równania okręgu odczytujemy środek okręgu i promień:

$S=\left(-5,1\right),r=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$  

Sprowadzamy prostą l do postaci ogólnej:

$l:y-x=0$  

Czyli

$l:-x+y=0$  

Obliczamy odległość punktu S od prostej l. Korzystamy ze wzoru na odległość punktu od prostej.

$d=\frac{\left|-1\cdot \left(-5\right)+1\cdot 1+0\right|}{\sqrt{{\left(-1\right)}^2+1^2}}=\frac{\left|5+1\right|}{\sqrt{2}}=\frac{6}{\sqrt{2}}\cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\frac{6\sqrt{2}}{2}=3\sqrt{2}$

Zauważmy, że

$d=r=3\sqrt{2}$  

To oznacza, że prosta l jest styczna do okręgu K, 

co należało wykazać.

---

c)

Rozważamy prostą l i okrąg K:

$l:y=-\frac{1}{2}x+5$  

$K:x^2+y^2=20$  

Teza: 

Prosta l jest styczna do okręgu K. 

Dowód:

Aby pokazać, że prosta jest styczna do okręgu, wystarczy udowodnić, że prosta z okręgiem ma dokładnie jeden punkt wspólny, czyli innymi słowy - odległość środka okręgu od stycznej jest równa długości promienia.

Z równania okręgu odczytujemy środek okręgu i promień:

$S=\left(0,0\right),r=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$  

Sprowadzamy prostą l do postaci ogólnej:

$l:y=-\frac{1}{2}x+5\mid +\frac{1}{2}x-5$  

$l:\frac{1}{2}x+y-5=0\mid \cdot 2$  

$l:x+2y-10=0$  

Obliczamy odległość punktu S od prostej l. Korzystamy ze wzoru na odległość punktu od prostej.

$d=\frac{\left|1\cdot 0+2\cdot 0-10\right|}{\sqrt{1^2+2^2}}=\frac{\left|-10\right|}{\sqrt{5}}=\frac{10}{\sqrt{5}}\cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=\frac{10\sqrt{5}}{5}=\underline{\underline{2\sqrt{5}}}$

Zauważmy, że

$d=r=2\sqrt{5}$  

To oznacza, że prosta l jest styczna do okręgu K, 

co należało wykazać.

---

d)

Rozważamy prostą l i okrąg K:

$l:y=-\frac{3}{4}x+3$  

$K:{\left(x-1\right)}^2+{\left(y+4\right)}^2=25$  

Teza: 

Prosta l jest styczna do okręgu K. 

Dowód:

Aby pokazać, że prosta jest styczna do okręgu, wystarczy udowodnić, że prosta z okręgiem ma dokładnie jeden punkt wspólny, czyli innymi słowy - odległość środka okręgu od stycznej jest równa długości promienia.

Z równania okręgu odczytujemy środek okręgu i promień:

$S=\left(1,-4\right),r=5$  

Sprowadzamy prostą l do postaci ogólnej:

$l:y=-\frac{3}{4}x+3$  

$l:\frac{3}{4}x+y-3=0\mid \cdot 4$  

$l:3x+4y-12=0$  

Obliczamy odległość punktu S od prostej l. Korzystamy ze wzoru na odległość punktu od prostej.

$d=\frac{\left|3\cdot 1+4\cdot \left(-4\right)-12\right|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{\left|3-16-12\right|}{\sqrt{9+16}}=\frac{\left|-25\right|}{\sqrt{25}}=\frac{25}{5}=5$

Zauważmy, że

$d=r=5$  

To oznacza, że prosta l jest styczna do okręgu K, 

co należało wykazać.