Symetralna odcinka

Symetralną odcinka nazywamy prostą prostopadłą do odcinka, przechodzącą przez jego środek. Odcinek ma dwie osie symetrii - prostą zawierającą odcinek i symetralną odcinka.

---

a)

Wyznaczamy równania osi symetrii odcinka AB, gdzie

$A=\left(-7,3\right),B=\left(5;3\right)$  

Rysujemy odcinek AB w układzie współrzędnych.

Rysunek:

Zauważmy, że odcinek AB zawiera się w prostej poziomej o równaniu y=3, zatem jedną z osi symetrii odcinka AB jest prosta 

$\underline{\underline{y=3}}$

To oznacza również, że symetralna odcinka AB będzie prostą pionową.

Wyznaczamy środek odcinka AB:

$x_S=\frac{-7+5}{2}=\frac{-2}{2}=-1$

$y_S=\frac{3+3}{2}=3$  

Zatem środkiem odcinka AB jest punkt

$S=\left(-1,3\right)$  

Symetralna jest prostą pionową przechodzącą przez punkt S, zatem ma równanie:

$\underline{\underline{x=-1}}$  

Odp. Osie symetrii odcinka AB mają równania: y=3, x=-1.

---

b)

Wyznaczamy równanie prostej AB, gdzie:

$A=\left(-2,-3\right),B=\left(0,3\right)$  

Niech prosta AB ma równanie

$y=a_{AB}x+b_1$

 Wyznaczamy współczynnik kierunkowy prostej AB:

$a_{\text{AB}}=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\frac{3-\left(-3\right)}{0-\left(-2\right)}=\frac{3+3}{0+2}=\frac{6}{2}=3$

Zatem równanie prostej AB możemy zapisać jako:

$y=3x+b_1$

Do prostej AB należy punkt B=(0,3), co oznacza, że b₁=3. Stąd prosta AB ma równanie:

$\underline{\underline{y=3x+3}}$

Wyznaczamy teraz równanie symetralnej odcinka AB. Niech symetralna ma równanie:

$y=ax+b$

Z prostopadłości prostych wynika, że współczynnik a jest liczbą przeciwną i odwrotną do współczynnika a_AB.

  $a=-\frac{1}{a_{\text{AB}}}=-\frac{1}{3}$  

Symetralna ma zatem równanie

$y=-\frac{1}{3}x+b$  

Symetralna odcinka przechodzi przez jego środek. Wyznaczamy współrzędne środka odcinka AB.

$x_S=\frac{x_A+x_B}{2}=\frac{-2+0}{2}=-1$  

$y_S=\frac{y_A+y_B}{2}=\frac{-3+3}{2}=0$  

Zatem środek odcinka AB ma współrzędne

$S=\left(-1,0\right)$  

Wstawiamy współrzędne punktu S do równania symetralnej i wyznaczamy współczynnik b.

$0=-\frac{1}{3}\cdot \left(-1\right)+b$  

$0=\frac{1}{3}+b$

$-b=\frac{1}{3}\mid \cdot \left(-1\right)$  

Czyli

$b=-\frac{1}{3}$  

Zatem symetralna odcinka AB ma równanie:

$\underline{\underline{y=-\frac{1}{3}x-\frac{1}{3}}}$  

Odp. Osie symetrii odcinka AB mają równania: y=3x+3, y=-⅓x-⅓.

---

c)

Wyznaczamy równanie prostej AB, gdzie

$A=\left(-2,-10\right),B=\left(4,8\right)$  

Wyznaczamy współczynnik kierunkowy prostej AB:

$a_{\text{AB}}=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\frac{8-\left(-10\right)}{4-\left(-2\right)}=\frac{8+10}{4+2}=\frac{18}{6}=3$

Zatem prosta AB jest dana równaniem

$y=3x+b_1$

Wstawiamy do równania prostej np. współrzędne punktu A=(-2,-10) i obliczamy b₁.

$-10=3\cdot \left(-2\right)+b_1$

$-10=-6+b_1$

Zatem

$b_1=-4$

Stąd prosta AB ma równanie:

$\underline{\underline{y=3x-4}}$

Niech symetralna odcinka AB ma równanie: 

$y=ax+b$  

Symetralna jest prostopadła do odcinka AB, więc również do prostej AB.

Z prostopadłości prostych wynika, że współczynnik a jest liczbą przeciwną i odwrotną do współczynnika a_AB.

  $a=-\frac{1}{a_{\text{AB}}}=-\frac{1}{3}$  

Symetralna ma zatem równanie

$y=-\frac{1}{3}x+b$  

Symetralna odcinka przechodzi przez jego środek. Wyznaczamy współrzędne środka odcinka AB.

$x_S=\frac{x_A+x_B}{2}=\frac{-2+4}{2}=\frac{2}{2}=1$  

$y_S=\frac{y_A+y_B}{2}=\frac{-10+8}{2}=-\frac{2}{2}=-1$  

Zatem środek odcinka AB ma współrzędne

$S=\left(1,-1\right)$  

Wstawiamy współrzędne punktu S do równania symetralnej i wyznaczamy współczynnik b.

$-1=-\frac{1}{3}\cdot \left(1\right)+b$  

$-1=-\frac{1}{3}+b$

$-b=-\frac{1}{3}+1$  

$-b=\frac{2}{3}\mid \cdot \left(-1\right)$  

Czyli

$b=-\frac{2}{3}$  

Zatem symetralna odcinka AB ma równanie:

$\underline{\underline{y=-\frac{1}{3}x-\frac{2}{3}}}$  

Odp. Osie symetrii odcinka AB mają równania: y=3x-4 oraz y=-¹/₃x-²/₃.