Wzory skróconego mnożenia

Dla dowolnych liczb rzeczywistych a i b prawdziwe są następujące wzory: $1.{\left(a+b\right)}^2=a^2+2ab+b^2$   -  kwadrat sumy $2.{\left(a-b\right)}^2=a^2-2ab+b^2$   -  kwadrat różnicy $3.\left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^2-b^2$  -  różnica kwadratów

---

a)

Usuwamy niewymierność z mianownika ułamka.

$\frac{3}{\sqrt{3}-1}=\frac{3}{\sqrt{3}-1}\cdot \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}+1}=\frac{3\cdot \left(\sqrt{3}+1\right)}{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}-1\right)}=\dots$  

korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów i otrzymujemy: 

$\dots \stackrel{3.}{=}\frac{3\left(\sqrt{3}+1\right)}{{\left(\sqrt{3}\right)}^2-1^2}=\frac{3\left(\sqrt{3}+1\right)}{3-1}=\underline{\underline{\frac{3\left(\sqrt{3}+1\right)}{2}}}$  

---

b)

Usuwamy niewymierność z mianownika ułamka.

$\frac{4}{\sqrt{2}+3}=\frac{4}{\sqrt{2}+3}\cdot \frac{\sqrt{2}-3}{\sqrt{2}-3}=\frac{4\left(\sqrt{2}-3\right)}{\left(\sqrt{2}+3\right)\left(\sqrt{2}-3\right)}=\dots$  

korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów i otrzymujemy:

$\dots \stackrel{3.}{=}\frac{4\left(\sqrt{2}-3\right)}{{\left(\sqrt{2}\right)}^2-3^2}=\frac{4\left(\sqrt{2}-3\right)}{2-9}=\frac{4\left(\sqrt{2}-3\right)}{-7}=\frac{-4\left(\sqrt{2}-3\right)}{7}=\underline{\underline{\frac{4\left(3-\sqrt{2}\right)}{7}}}$  

---

c)

Usuwamy niewymierność z mianownika ułamka.

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}+1}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}+1}\cdot \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}-1}=\frac{\sqrt{3}\left(\sqrt{3}-1\right)}{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}-1\right)}=\dots$  

korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów i otrzymujemy:

$\dots \stackrel{3.}{=}\frac{\sqrt{3}\left(\sqrt{3}-1\right)}{{\left(\sqrt{3}\right)}^2-1^2}=\frac{3-\sqrt{3}}{3-1}=\underline{\underline{\frac{3-\sqrt{3}}{2}}}$  

---

d)

Usuwamy niewymierność z mianownika ułamka.

$\frac{2\sqrt{6}}{\sqrt{3}-2}=\frac{2\sqrt{6}}{\sqrt{3}-2}\cdot \frac{\sqrt{3}+2}{\sqrt{3}+2}=\frac{2\sqrt{6}\left(\sqrt{3}+2\right)}{\left(\sqrt{3}-2\right)\left(\sqrt{3}+2\right)}=\dots$  

korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów i otrzymujemy:

$\dots \stackrel{3.}{=}\frac{2\sqrt{6}\left(\sqrt{3}+2\right)}{{\left(\sqrt{3}\right)}^2-2^2}=\frac{2\sqrt{18}+4\sqrt{6}}{3-4}=\frac{2\cdot 3\sqrt{2}+4\sqrt{6}}{-1}=\underline{\underline{-6\sqrt{2}-4\sqrt{6}}}$  

---

e)

Usuwamy niewymierność z mianownika ułamka.

$\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}\cdot \frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}\stackrel{3.}{=}\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{{\left(\sqrt{3}\right)}^2-{\left(\sqrt{2}\right)}^2}=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{3-2}=\underline{\underline{\sqrt{3}+\sqrt{2}}}$    

---

f)

Usuwamy niewymierność z mianownika ułamka.

$\frac{2}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}=\frac{2}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}\cdot \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{\sqrt{6}-\sqrt{2}}=\dots$  

korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów i otrzymujemy:

$\dots \stackrel{3.}{=}\frac{2\left(\sqrt{6}-\sqrt{2}\right)}{{\left(\sqrt{6}\right)}^2-{\left(\sqrt{2}\right)}^2}=\frac{2\left(\sqrt{6}-\sqrt{2}\right)}{6-2}=\frac{{\sout{2}}^1\left(\sqrt{6}-\sqrt{2}\right)}{{\sout{4}}_2}=\underline{\underline{\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}}}$  

---

g)

Usuwamy niewymierność z mianownika ułamka.

$\frac{\sqrt{3}+2}{\sqrt{3}-2}=\frac{\sqrt{3}+2}{\sqrt{3}-2}\cdot \frac{\sqrt{3}+2}{\sqrt{3}+2}=\frac{{\left(\sqrt{3}+2\right)}^2}{\left(\sqrt{3}-2\right)\left(\sqrt{3}+2\right)}=\dots$  

korzystamy w liczniku ułamka ze wzoru na kwadrat sumy, a w mianowniku ułamka ze wzoru na różnicę kwadratów:

$\dots \stackrel{2.,3.}{=}\frac{{\left(\sqrt{3}\right)}^2+2\cdot \sqrt{3}\cdot 2+2^2}{{\left(\sqrt{3}\right)}^2-2^2}=\frac{3+4\sqrt{3}+4}{3-4}=\frac{7+4\sqrt{3}}{-1}=\underline{\underline{-7-4\sqrt{3}}}$

---

h)

Usuwamy niewymierność z mianownika ułamka.

$\frac{\sqrt{2}-1}{2\sqrt{2}+1}=\frac{\sqrt{2}-1}{2\sqrt{2}+1}\cdot \frac{2\sqrt{2}-1}{2\sqrt{2}-1}=\frac{\left(\sqrt{2}-1\right)\cdot \left(2\sqrt{2}-1\right)}{\left(2\sqrt{2}+1\right)\cdot \left(2\sqrt{2}-1\right)}=\dots$  

korzystamy w mianowniku ułamka ze wzoru na różnicę kwadratów i otrzymujemy:

 

$\dots \stackrel{3.}{=}\frac{\sqrt{2}\cdot 2\sqrt{2}-\sqrt{2}-2\sqrt{2}+1}{{\left(2\sqrt{2}\right)}^2-1^2}=\frac{4-3\sqrt{2}+1}{8-1}=\underline{\underline{\frac{5-3\sqrt{2}}{7}}}$