Cechy podzielności liczb

liczba naturalna jest podzielna przez: 3, jeżeli suma cyfr tej liczby jest podzielna przez 3. 4, jeżeli dwie ostatnie cyfry tej liczby tworzą liczbę podzielną przez 4. 5, jeżeli cyfrą jedności tej liczby jest 0 lub 5. 8, jeżeli trzy ostatnie cyfry tej liczby tworzą liczbę podzielną przez 8. 9, jeżeli suma cyfr tej liczby jest podzielna przez 9.

---

Rozważamy liczbę sześciocyfrową 65432x, gdzie x oznacza cyfrę jedności. 

Stąd

$x\in \left\{0,1,2,\dots ,8,9\right\}$  

---

a)

Liczba 65432x będzie podzielna przez 3, jeśli suma cyfr tej liczby jest podzielna przez 3.

Obliczamy sumę cyfr:

$6+5+4+3+2+x=20+x$   

Skoro x jest cyfrą, to jeżeli dodamy ją do liczby $20$, to otrzymamy co najmniej $20+0=20$ i co najwyżej $20+9=29$.

$20\le 20+x\le 29$  

Jedynymi liczbami podzielnymi przez 3 w rozważanym przedziale są: 21, 24 i 27. Zatem

$20+x=21\vee 20+x=24\vee 20+x=27$  

$x=\underline{\underline{1}}\vee x=\underline{\underline{4}}\vee x=\underline{\underline{7}}$  

Szukanymi liczbami są zatem 654321, 654324, 654327.

---

b)

Liczba 65432x będzie podzielna przez 4, jeśli jej dwie ostatnie cyfry, czyli 2x tworzą liczbę podzielną przez 4.

Liczby postaci 2x, które są podzielne przez 4 to: 20, 24 i 28.

Stąd

$x=\underline{\underline{0}}\vee x=\underline{\underline{4}}\vee x=\underline{\underline{8}}$  

Szukanymi liczbami są zatem 654320, 654324, 654328.

---

c)

Liczba 65432x będzie podzielna przez 5, jeśli jej cyfrą jedności będzie 0 lub 5.

x jest cyfrą jedności rozważanej liczby, zatem

$x=\underline{\underline{0}}\vee x=\underline{\underline{5}}$  

Szukanymi liczbami są zatem 654320, 654325.

---

d)

Liczba 65432x będzie podzielna przez 8, jeśli jej trzy ostatnie cyfry, czyli 32x tworzą liczbę podzielną przez 8.

Liczby postaci 32x, które są podzielne przez 8 to: 320 i 328.

$x=\underline{\underline{0}}\vee x=\underline{\underline{8}}$  

Szukanymi liczbami są zatem 654320, 654328.

---

e)

Liczba 65432x będzie podzielna przez 9, jeśli suma cyfr tej liczby jest podzielna przez 9.

Obliczamy sumę cyfr:

$6+5+4+3+2+x=20+x$   

Skoro x jest cyfrą, to jeżeli dodamy ją do liczby $20$, to otrzymamy co najmniej $20+0=20$ i co najwyżej $20+9=29$.

$20\le 20+x\le 29$  

Jedynymi liczbą podzielną przez 9 w rozważanym przedziale jest  27. Zatem

$20+x=27$  

$x=\underline{\underline{7}}$  

Szukaną liczbą jest zatem 654327.