Treść:

W trójkącie ABC poprowadzono dwusieczne kątów przecinające boki BC, AC i AB tego trójkąta w punktach – odpowiednio – K, L oraz M. Punkt P jest punktem przecięcia tych dwusiecznych. Na czworokątach CLPK oraz BKPM można opisać okrąg.

Udowodnij, że trójkąt ABC jest równoboczny.

---

---

Rozwiązanie:

Wykonajmy rysunek pomocniczy:

Z treści zadania wiemy, że na czworokącie CLPK da się opisać okrąg. Oznacza to że suma naprzeciwległych kątów jest równa 180°. Zatem

$2\alpha +\left|\sphericalangle KPL\right|={180}^{\circ }\left(1\right)$  

$\left|\sphericalangle CKP\right|+\left|\sphericalangle PLC\right|={180}^{\circ }\left(\ast \ast \right)$  

Podobnie dla czworokąta BKPM. Mamy

$2\beta +\left|\sphericalangle MPK\right|={180}^{\circ }\left(2\right)$  

$\left|\sphericalangle PKB\right|+\left|\sphericalangle PMB\right|={180}^{\circ }\left(\ast \right)$  

---

Zauważmy, że

$\left|\sphericalangle CKP\right|+\left|\sphericalangle PKB\right|={180}^{\circ }$  

jako kąty przylegające. Zatem z (*) wynika, że

$\left|\sphericalangle PMB\right|=\left|\sphericalangle CKP\right|=\delta$  

Podobnie zachodzi

$\left|\sphericalangle ALP\right|+\left|\sphericalangle PLC\right|={180}^{\circ }$  

ponieważ są to kąty przylegające, zatem z (**) wynika

$\left|\sphericalangle ALP\right|=\left|\sphericalangle CKP\right|=\delta$  

W analogiczny sposób da się wykazać, że

$\left|\sphericalangle PKB\right|=\left|\sphericalangle AMP\right|$  

Zatem łatwo zauważyć, że z dwóch poprzednich równości wynika że

$\left|\sphericalangle ALP\right|+\left|\sphericalangle AMP\right|={180}^{\circ }$  

a z sumy katów w czworokącie wynika, że

$\left|\sphericalangle MPL\right|={180}^{\circ }-2\gamma \left(3\right)$  

---

Rozważmy (1). Jako kąt przyległy mamy

$\left|\sphericalangle LPA\right|=2\alpha$  

Dla (2), jako kąt przyległy mamy

$\left|\sphericalangle CPK\right|=2\beta$  

Natomiast z (3) wynika, że

$\left|\sphericalangle MPB\right|=2\gamma$  

Nanieśmy to na rysunek:

Rozważmy trójkąty CPK, BMP i APL oraz ich sumy kątów:

$\delta +\alpha +2\beta ={180}^{\circ }$  

$\delta +\gamma +2\alpha ={180}^{\circ }$  

$\delta +\beta +2\gamma ={180}^{\circ }$  

Dodajmy te trzy równania stronami

$3\delta +3\alpha +3\beta +3\gamma ={540}^{\circ }$  

$3\delta +3\left(\alpha +\beta +\gamma \right)={540}^{\circ }$  

$3\delta +3\cdot {90}^{\circ }={540}^{\circ }$  

$3\delta +{270}^{\circ }={540}^{\circ }\mid -{270}^{\circ }$  

$3\delta ={270}^{\circ }\mid :3$  

$\delta ={90}^{\circ }$  

Stąd wiemy, że wszystkie dwusieczne pokryją się z wysokościami w trójkącie, a zatem trójkąt ABC jest równoboczny.

c.b.d.u.