Treść:

Olejarnia wytwarza olej ekologiczny. Aby produkcja była opłacalna, dzienna wielkość produkcji musi wynosić co najmniej 480 litrów i nie może przekroczyć 530 litrów (ze względu na ograniczone moce produkcyjne). Przy poziomie produkcji (480+x) litrów dziennie przeciętny koszt K (w złotych) wytworzenia jednego litra oleju jest równy

$K\left(x\right)=\frac{22x^2-621,5x+23430}{480+x},\text{gdzie}x\in \left[0,50\right]$  

Oblicz, ile litrów oleju dziennie powinna wytworzyć olejarnia, aby przeciętny koszt produkcji jednego litra oleju był najmniejszy (z zachowaniem opłacalności produkcji). Oblicz ten najmniejszy przeciętny koszt.

Zapisz obliczenia.

---

Rozwiązanie:

Przy poziomie produkcji (480+x) litrów dziennie, przeciętny koszt wytworzenia jednego litra oleju opisany jest funkcją: 

$K\left(x\right)=\frac{22x^2-621,5x+23430}{480+x},\text{gdzie}x\in \left[0,50\right]$  

Wyznaczymy, ile litrów oleju dziennie powinna wytworzyć olejarnia, aby przeciętny koszt produkcji jednego litra oleju był najmniejszy.

W tym celu wyznaczymy najmniejszą wartość funkcji K w przedziale [0, 50].

W przedziale (0, 50) funkcja K jest różniczkowalna. 

Wyznaczmy pochodną funkcji K. Korzystając ze wzoru na pochodną ilorazu mamy: