Treść:

Kąt 𝛼 jest ostry oraz

$\frac{1}{{\sin }^2\alpha }+\frac{1}{{\cos }^2\alpha }=\frac{16}{9}$  

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wartość wyrażenia sin𝛼∙cos𝛼 jest równa

$A.\frac{4}{3}$

$B.\frac{3}{4}$

$C.\frac{16}{9}$

$D.\frac{9}{16}$     

---

Rozwiązanie:

Przekształcamy równoważnie podaną równość i mamy:

$\frac{1}{{\sin }^2\alpha }+\frac{1}{{\cos }^2\alpha }=\frac{16}{9}$  

Doprowadzamy ułamki po lewej stronie równości do wspólnego mianownika i mamy: 

$\frac{{\cos }^2\alpha }{{\sin }^2\alpha \cdot {\cos }^2\alpha }+\frac{{\sin }^2\alpha }{{\sin }^2\alpha \cdot {\cos }^2\alpha }=\frac{16}{9}$

$\frac{{\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha }{{\sin }^2\alpha \cdot {\cos }^2\alpha }=\frac{16}{9}$   

Korzystając z jedynki trygonometrycznej otrzymujemy:

$\frac{1}{{\sin }^2\alpha \cdot {\cos }^2\alpha }=\frac{16}{9}\mid \cdot {\sin }^2\alpha \cdot {\cos }^2\alpha$

$1=\frac{16}{9}\cdot {\sin }^2\alpha \cdot {\cos }^2\alpha \mid :\frac{16}{9}$

${\sin }^2\alpha \cdot {\cos }^2\alpha =\frac{9}{16}\wedge \sin \alpha >0,\cos \alpha >0$

$\underline{\underline{\sin \alpha \cdot \cos \alpha =\frac{3}{4}}}$     

Odp. B