Treść

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Równanie

$\frac{\left(x^2+x\right)\left(x+3\right)\left(x-1\right)}{x^2-1}=0$  

ma w zbiorze liczb rzeczywistych dokładnie

A. Jedno rozwiązanie: x=-3

B. Dwa rozwiązania: x=-3, x=0

C. Trzy rozwiązania: x=-3, x=0, x=-1

D. Cztery rozwiązania: x=-3, x=0, x=-1, x=1

 

---

---

Rozwiązanie

$\frac{\left(x^2+x\right)\left(x+3\right)\left(x-1\right)}{x^2-1}=0$  

Musimy rozpocząć od wyznaczenia dziedziny równania.

Mianownik musi być liczbą różną od zera, a więc:

$x^2-1\ne 0$  

$x^2\ne 1$  

$x\ne 1$  

$x\ne -1$  

$x\in \mathbb{R}\text{}\left\{-1;1\right\}$  

 

Rozwiązujemy równanie:

$\frac{\left(x^2+x\right)\left(x+3\right)\left(x-1\right)}{x^2-1}=0$  

Ułamek jest równy 0, kiedy jego licznik jest równy 0:

$\left(x^2+x\right)\left(x+3\right)\left(x-1\right)=0$  

$x\cdot \left(x+1\right)\left(x+3\right)\left(x-1\right)=0$  

Iloczyn liczb jest równy 0, kiedy któryś z czynników jest równy 0. Mamy więc:

$x_1=0$  

 

Lub:

$x+1=0$  

$x=-1$   - ta liczba nie należy do dziedziny, więc nie jest rozwiązaniem

 

Lub:     

$x+3=0$  

$x_2=-3$  

 

Lub:

$x-1=0$  

$x=1$   - ta liczba również nie należy do dziedziny.

 

Równanie ma więc dokładnie 2 rozwiązania: x=-3 oraz x=0    

 

Odp.: B