Definicja logarytmu: $\text{Jesˊli}a>0,a\ne 1\text{i}b>0,\text{to}\left({\log }_{a}b=c\iff a^c=b\right).$

Przypomnijmy, że funkcją logarytmiczną nazywamy funkcję, którą można opisać wzorem: $f\left(x\right)={\log }_{a}x,\text{gdzie}a\in {\mathbb{R}}_{+}\backslash \left\{1\right\},x\in {\mathbb{R}}_{+}$

---

a)

$\text{Rzędna punktu wspoˊlnego wykresoˊw funkcji}f\left(x\right)=1+{\left(\frac{1}{3}\right)}^{x-4}\text{i}g\left(x\right)={\log }_{a}x\text{jest roˊwna}2.$  

Stąd:

$f\left(x\right)=2$  

$1+{\left(\frac{1}{3}\right)}^{x-4}=2$  

${\left(\frac{1}{3}\right)}^{x-4}=2-1$  

${\left(\frac{1}{3}\right)}^{x-4}=1$  

${\left(\frac{1}{3}\right)}^{x-4}={\left(\frac{1}{3}\right)}^0$  

$x-4=0$  

$x=4$  

Otrzymujemy więc, że wykresy funkcji f i g przecinają się w punkcie (4, 2).

Stąd:

$g\left(4\right)=2$  

${\log }_{a}4=2$  

Z definicji logarytmu:

$a^2=4$  

$a=2\text{lub}a=-2$  

Po uwzględnieniu, że:

$a>0,a\ne 1$  

Ostatecznie otrzymujemy, że:

$\underline{\underline{a=2}}$  

---

b)

Wykres funkcji

$f\left(x\right)=1+{\left(\frac{1}{3}\right)}^{x-4},x\in \mathbb{R}$  

otrzymamy przesuwając równolegle wykres funkcji 

$h\left(x\right)={\left(\frac{1}{3}\right)}^x,x\in \mathbb{R}$  

o wektor [4, 1], czyli 4 jednostki w prawo i 1 jednostkę w górę.

Budujemy tabelkę częściową funkcji h:

$x$	$-2$	$-1$	$0$	$1$
$h\left(x\right)$	$9$	$3$	$1$	$\frac{1}{3}$

 

Szkicujemy wykres funkcji h, a następnie wykres funkcji f:

 

Wiemy, że (korzystając z poprzedniego podpunktu):

$g\left(x\right)={\log }_{2}x,\text{gdzie}x\in {\mathbb{R}}_{+}$  

Budujemy tabelkę częściową funkcji g:

$x$	$\frac{1}{2}$	$1$	$2$	$4$
$g\left(x\right)$	$-1$	$0$	$1$	$2$

 

Szkicujemy wykres funkcji g (w tym samym układzie współrzędnych, co wykres funkcji f):

 

Odczytujemy z wykresu zbiór rozwiązań nierówności f(x)>g(x):

$\underline{\underline{x\in \left(0,4\right)}}$