Oblicz wartość...- Zadanie 4: Matematyka 4. Zakres podstawowy

Rozwiązanie

Przypomnijmy podstawowe własności logarytmów i prawa działań na logarytmach:

$Je \overset{z}{˙} eli a \in R_{+} \ {1}, b \in R_{+} \ {1}, r \in R, oraz x > 0, y > 0 to$ :

$1 . lo g_{a} x + lo g_{a} y = lo g_{a} (x \cdot y)$

$2 . lo g_{a} x - lo g_{a} y = lo g_{a} (\frac{x}{y})$

$3 . r \cdot lo g_{a} x = lo g_{a} x^{r}$

$4 . lo g_{a} x = \frac{lo g _{b} x}{lo g _{b} a}$

$5 . lo g_{a} b = \frac{1}{lo g _{b} a}$

$6 . a^{l o g_{a} b} = b$

Korzystamy ze wzoru na różnicę logarytmów o tej samej podstawie (wzór (2)) i mamy:

$lo g_{2} 24 - lo g_{2} 3 = lo g_{2} (\frac{24}{3}) = lo g_{2} 8 = lo g_{2} 2^{3} = \underline{\underline{3}}$

Korzystamy ze wzoru na sumę logarytmów o tej samej podstawie (wzór (1)) i mamy:

$lo g_{3} 1 \frac{1}{3} + lo g_{3} 6 \frac{3}{4} = lo g_{3} (1 \frac{1}{3} \cdot 6 \frac{3}{4}) = lo g_{3} (\frac{4 ^{1}}{3 _{1}} \cdot \frac{27 _{9}}{4 _{1}}) = lo g_{3} 9 = \underline{\underline{2}}$

Korzystamy z własności (3) i mamy:

$\frac{1}{3} lo g_{4} 8 - lo g_{4} 32 = lo g_{4} 8^{\frac{1}{3}} - lo g_{4} 32 = lo g_{4} 38 - lo g_{4} 32 = lo g_{4} 2 - lo g_{4} 32 = \dots$

Stosujemy wzór (2) i mamy:

$\dots = lo g_{4} \frac{2}{32} = lo g_{4} \frac{1}{16} = x$

Stosujemy definicję logarytmu i otrzymujemy:

$4^{x} = \frac{1}{16}$

$4^{x} = (\frac{1}{4})^{2}$

$4^{x} = 4^{- 2}$

Porównujemy wykładniki i dostajemy:

$\underline{\underline{x = - 2}}$

$2 lo g_{3} 5 - lo g_{3} 75 = \dots$

Stosujemy wzór (3) i mamy:

$\dots = lo g_{3} 5^{2} - lo g_{3} 75 = lo g_{3} 25 - lo g_{3} 75 = \dots$

Z własności (2) otrzymujemy:

$\dots = lo g_{3} \frac{25}{75} = lo g_{3} \frac{1}{3} = \underline{\underline{- 1}}$

$3^{l o g_{3} 4} + lo g_{3} 33 = \dots$

Stosujemy wzór (6) w pierwszym logarytmie i przekształcamy drugi logarytm. Mamy:

$\dots = 4 + lo g_{3} 3^{\frac{1}{3}} = \dots$

Z własności (3) otrzymujemy:

$\dots = 4 + \frac{1}{3} lo g_{3} 3 = 4 + \frac{1}{3} \cdot 1 = \underline{\underline{4 \frac{1}{3}}}$

$25^{l o g_{5} 2} - \frac{1}{lo g _{8} 2} = \dots$

Przekształcamy wyrażenie i korzystamy w pierwszym logarytmie z własności (3) i mamy:

$\dots = (5^{2})^{l o g_{5} 2} - \frac{1}{lo g _{8} 2} = 5^{2 l o g_{5} 2} - \frac{1}{lo g _{8} 2} = 5^{l o g_{5} (2)^{2}} - \frac{1}{lo g _{8} 2} = \dots$