Przypomnijmy, że: pole powierzchni P kuli o promieniu r,   $r>0,$  wyraża się wzorem:    $P=4\pi r^2$

---

Z treści zadania wiemy,  że punktu A i B należą do sfery o środku w punkcie O. Wiadomo, również, że

$\left|AB\right|=10\sqrt{3}\left[\text{cm}\right],\left|\sphericalangle ABO\right|={30}^{\circ }$  

Sporządzamy rysunek pomocniczy. Przyjmujemy oznaczenia takie jak na rysunku. 

Rysunek:

Zauważmy, że dwoma bokiami trójkąta AOB są promienie sfery, zatem ten trójkąt jest równoramienny. Stąd

$\left|\sphericalangle OAB\right|={30}^{\circ },\left|\sphericalangle BOA\right|={180}^{\circ }-2\cdot {30}^{\circ }={120}^{\circ }$  

Rysujemy trójkąt  AOB.

Rysunek:

Rysujemy wysokość tego trójkąta na podstawę AB. Zauważmy, że trójkąt ADO jest trójkątem o kątach 30°, 60°, 90°. Z własności długości boków takiego trójkąta mamy:

$|AD|=\left|OD\right|\sqrt{3}$

$5\sqrt{3}=\left|OD\right|\sqrt{3}\mid :\sqrt{3}$

$5=\left|OD\right|$  

Z własności długości boków w trójkącie ADO mamy również, że

$R=2\left|OD\right|=2\cdot 5=10\left[\text{cm}\right]$  

---

Korzystamy ze wzoru na pole powierzchni kuli i otrzymujemy, że

$P=4\pi R^2=4\pi \cdot {10}^2=\underline{\underline{400\pi \left[{\text{cm}}^2\right]}}$