Przypomnijmy, że  : pole powierzchni bocznej  Pb stożka  wyraża się wzorem:   $P_b=\pi r$   gdzie r jest promieniem podstawy stożka, l - długością tworzącej stożka. pole powierzchni bocznej Pb walca określa wzór:    $P_b=2\pi r\cdot h$     objętość walca wyraża się wzorem:    $V=\pi r^2\cdot h$   gdzie r jest promieniem podstawy, h - wysokością walca.

---

Z treści zadania wiemy, że równoległobok, którego boki mają długość 5 i 9 obracamy wokół krótszego boku. Kątem ostrym równoległoboku jest kąt 𝛼, taki, że

$\sin \alpha =\frac{2}{3}$  

Sporządzamy rysunek pomocniczy. Przyjmujemy oznaczenia takie jak na rysunku.

Rysunek:  

Otrzymana bryła składa się ze stożka i walca, z którego wycięto stożek (wycięty stożek jest zaznaczony na rysunku ciemniejszym kolorem). Obydwa stożki - doklejony do walca i wycięty z walca - mają takie same wymiary.

Powierzchnia całkowita otrzymanej bryły składa się z 

• powierzchni bocznej walca
• powierzchni bocznych dwóch stożków

Krótszy bok równoległoboku jest wysokością walca, dłuższy bok jest tworzącą każdego ze stożków, a kąt 𝛼  jest równy połowie kąta rozwarcia każdego ze stożków.

Obliczamy promień r podstawy walca i stożków. 

Rozważamy trójkąt prostokątny w górnym stożku. Z definicji sinusa otrzymujemy

$\sin \alpha =\frac{r}{9}$  

$\frac{2}{3}=\frac{r}{9}$  

Stąd

$r=\frac{2}{3}\cdot 9=\underline{\underline{6}}$  

Wysokość walca jest równa długości krótszego boku, stąd 

$H=5$  

---

Wyznaczamy pole P_c powierzchni całkowitej bryły:

$P_c=\underset{\text{pola boczne stoz˙koˊw}}{\underbrace{2\pi \cdot r\cdot l}}+\underset{\text{pole boczne walca}}{\underbrace{2\pi \cdot r\cdot H}}=2\pi r\left(l+H\right)=2\pi \cdot 6\cdot \left(9+5\right)=12\pi \cdot 14=\underline{\underline{168\pi }}$  

---

Wyznaczamy objętość V powstałej bryły. 

Zauważmy, że jeśli doklejony stożek oderwiemy od walca i włożymy w miejsce, gdzie drugi stożek był z walca wycięty, to otrzymamy cały walec. Zatem objętość otrzymanej bryły jest równa objętości walca o promieniu r i wysokości H.

Ze wzoru na objętość walca mamy: 

$V=\pi r^2\cdot H=\pi \cdot 6^2\cdot 5=36\pi \cdot 5=\underline{\underline{210\pi }}$