Przypomnijmy, że kątem między prostą k (przebijającą płaszczyznę 𝜋 i nieprostopadłą do niej) a płaszczyzną 𝜋  nazywamy kąt ostry 𝛼 między prostą k a jej rzutem prostokątnym k1 na płaszczyznę 𝜋.

---

Wiemy, że prosta k przebija płaszczyznę 𝜋 w punkcie A. Punkt B leży na prostej k, która tworzy z  płaszczyzną 𝜋 kąt 30°. Wiemy również, że

$\left|AB\right|=10\text{cm}$  

 Wyznaczamy rzut prostokątny punktu B na płaszczyznę  𝜋. Oznaczamy go przez B₁. Odległością punktu B od płaszczyzny 𝜋 będzie długość rzutu prostokątnego punktu B na tę płaszczyznę, czyli odcinka BB₁. 

Rysunek:

Rozważamy trójkąt AB₁B. Jest to trójkąt prostokątny o kątach 30°, 60°, 90°.

Niech

$\left|B{B}_1\right|=a$   

Z własności trójkąta prostokątnego o kątach 30°, 60°, 90° mamy, że

  $\left|AB\right|=2a$   

Zatem

$2a=10\mid :2$  

$a=5$  

Stąd: 

$\left|B{B}_1\right|=5\text{cm}$   i tyle wynosi szukana odległość punktu B od płaszczyzny 𝜋.

---

b)

Wiemy, że prosta k przebija płaszczyznę 𝜋 w punkcie A. Punkt B leży na prostej k, która tworzy z  płaszczyzną 𝜋 kąt 45°. Wiemy również, że

$\left|AB\right|=10\text{cm}$  

 Wyznaczamy rzut prostokątny punktu B na płaszczyznę  𝜋. Oznaczamy go przez B₁. Odległością punktu B od płaszczyzny 𝜋 będzie długość rzutu prostokątnego punktu B na tę płaszczyznę, czyli odcinka BB₁. 

Rysunek:

Rozważamy trójkąt AB₁B. Jest to trójkąt prostokątny o kątach 45°, 45°, 90°.

Niech

$\left|B{B}_1\right|=a$   

Z własności trójkąta prostokątnego o kątach 45°, 45°, 90° mamy, że

  $\left|AB\right|=a\sqrt{2}$   

Zatem

$a\sqrt{2}=10\mid :\sqrt{2}$  

$a=\frac{10}{\sqrt{2}}$  

Usuwamy niewymierność z mianownika i otrzymujemy, że

$a=\frac{10}{\sqrt{2}}\cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\frac{10\sqrt{2}}{2}=\underline{\underline{5\sqrt{2}}}$  

Stąd: 

$\left|B{B}_1\right|=5\sqrt{2}\text{cm}$   i tyle wynosi szukana odległość punktu B od płaszczyzny 𝜋.

---

c)

Wiemy, że prosta k przebija płaszczyznę 𝜋 w punkcie A. Punkt B leży na prostej k, która tworzy z  płaszczyzną 𝜋 kąt 60°. Wiemy również, że

$\left|AB\right|=10\text{cm}$  

 Wyznaczamy rzut prostokątny punktu B na płaszczyznę  𝜋. Oznaczamy go przez B₁. Odległością punktu B od płaszczyzny 𝜋 będzie długość rzutu prostokątnego punktu B na tę płaszczyznę, czyli odcinka BB₁. 

Rysunek:

Rozważamy trójkąt AB₁B. Jest to trójkąt prostokątny o kątach 30°, 60°, 90°.

Niech

$\left|A{B}_1\right|=a$   

Z własności trójkąta prostokątnego o kątach 30°, 60°, 90° mamy, że

$\left|B{B}_1\right|=a\sqrt{3}$  

$\left|AB\right|=2a$   

Zatem

$2a=10\mid :2$  

$a=5$  

Stąd: 

$\left|B{B}_1\right|=a\sqrt{3}=\underline{\underline{5\sqrt{3}\text{cm}}}$    i tyle wynosi szukana odległość punktu B od płaszczyzny 𝜋.