Przypomnijmy, że  Logarytmem z liczby dodatniej b, przy dodatniej i różnej od jedności podstawie a nazywamy liczbę c, do której należy podnieść podstawię a, aby otrzymać liczbę b. Innymi słowy: ${\log }_{a}b=c\iff a^c=b,\text{gdzie}b>0,a>0,a\ne 1$

---

a)

Wyznaczymy dziedzinę funkcji  $f\left(x\right)={\log }_{x^2+5}\left(x^2+2x+8\right)$   

Zakładamy, że :

$x^2+5>0\wedge x^2+5\ne 1\wedge x^2+2x+8>0$  

Zauważmy, że pierwsze dwa warunki są spełnione  przez dowolną liczbę rzeczywistą, ponieważ x² ⩾ 0, zatem x²+5 ⩾ 5 

Sprawdzamy trzeci warunek. Rozwiązujemy nierówność:

$x^2+2x+8>0$  

$\Delta =2^2-4\cdot 1\cdot 8=4-32=-28<0$  

Trójmian kwadratowy, znajdujący się po lewej stronie nierówności, nie ma pierwiastków rzeczywistych. Szkicujemy wykres:

Zbiorem rozwiązań nierówności będzie zbiór wszystkich liczb rzeczywistych.

Otrzymaliśmy, że wszystkie postawione warunki są spełnione przez dowolną liczbę rzeczywistą, zatem dziedziną będzie:

$\underline{\underline{D_f=\mathbb{R}}}$  

---

b)

Wyznaczymy dziedzinę funkcji  $f\left(x\right)={\log }_{|x-2|}{x}^2$   

Zakładamy, że :

$\left|x-2\right|>0\wedge \left|x-2\right|\ne 1\wedge x^2>0$  

• I warunek:  $|x-2|>0$  

Zauważmy, że wartość bezwzględna z dowolnej liczby rzeczywistej przyjmuje zawsze wartości dodatnie lub równe 0. Zatem nierówność sprowadza się do :

$\left|x-2\right|\ne 0$  

$x-2\ne 0$  

$x\ne 2$  

Otrzymujemy, że rozwiązaniem I warunku jest : $x\in \mathbb{R}\backslash \left\{2\right\}$  

• II warunek:  $|x-2|\ne 1$  

Z własności wartości bezwzględnej mamy, że równanie sprowadza się do postaci:

$x-2\ne 1\wedge x-2\ne -1$  

$x\ne 3\wedge x\ne 1$

Otrzymujemy, że rozwiązaniem II warunku jest : $x\in \mathbb{R}\backslash \left\{1,3\right\}$  

• III warunek:  $x^2>0$  

Zauważmy, że kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest dodatni lub równy 0. Zatem, aby powyższa nierówność była spełniona, wystarczy założyć, że:

$x^2\ne 0$  

Czyli

$x\ne 0$  

Otrzymujemy, że rozwiązaniem III warunku jest : $x\in \mathbb{R}\backslash \left\{0\right\}$  

 Bierzemy część wspólną trzech warunków i otrzymujemy dziedzinę funkcji f.

$\underline{\underline{D_f=\mathbb{R}\backslash \left\{0,1,2,3\right\}}}$  

---

c)

Wyznaczymy dziedzinę funkcji  $f\left(x\right)={\log }_{7-x}\left(4^x-32\sqrt{2}\right)$   

Zakładamy, że :

$7-x>0\wedge 7-x\ne 1\wedge 4^x-32\sqrt{2}>0$  

• I warunek:  $7-x>0$  

Rozwiązujemy nierówność:

$-x>-7\mid \cdot \left(-1\right)$  

$x<7$   

Otrzymujemy, że rozwiązaniem I warunku jest : $x\in \left(-\infty ,7\right)$  

• II warunek:  $7-x\ne 1$  

$-x\ne -6$  

$x\ne 6$  

Otrzymujemy, że rozwiązaniem II warunku jest : $x\in \mathbb{R}\backslash \left\{6\right\}$  

• III warunek:  $4^x-32\sqrt{2}>0$  

Rozwiązujemy nierówność wykładniczą:

$4^x>32\sqrt{2}$  

Zapisujemy obie strony nierówności jako potęgi liczby 2

${\left(2^2\right)}^x>2^5\cdot 2^{\frac{1}{2}}$

$2^{2x}>2^{5\frac{1}{2}}$  

Podstawy potęg po obu stronach nierówności jest większa od 1, zatem porównując wykładniki, znak nierówności pozostawimy bez zmian. Stąd:

$2x>5\frac{1}{2}$  

$2x>\frac{11}{2}$  

$x>\frac{11}{4}$  

$x>2\frac{3}{4}$  

Otrzymujemy, że rozwiązaniem III warunku jest : $x\in \left(2\frac{3}{4},\infty \right)$  

 Bierzemy część wspólną trzech warunków i otrzymujemy dziedzinę funkcji f.

$\underline{\underline{D_f=\left(2\frac{3}{4},6\right)\cup \left(6,7\right)}}$  

---

d)

Wyznaczymy dziedzinę funkcji  $f\left(x\right)={\log }_{\cos x-\frac{1}{2}}\left(-2x^2+13x-6\right)$   

Zakładamy, że :

$\cos x-\frac{1}{2}>0\wedge \cos x-\frac{1}{2}\ne 1\wedge -2x^2+13x-6>0$  

• I warunek:  $\cos x-\frac{1}{2}>0$  

Rozwiązujemy nierówność trygonometryczną.

$\cos x-\frac{1}{2}>0$  

$\cos x>\frac{1}{2}$  

Rozwiązujemy równanie :

$\cos x=\frac{1}{2}$

Wiemy, że funkcja cosinus przyjmuje wartości dodatnie dla kątów z I  i IV ćwiartki układu współrzędnych.

Otrzymujemy zatem 

$x=\frac{\pi }{3}++2k\pi \vee x=-\frac{\pi }{3}+2k\pi k\in \mathbb{Z}$  

Szkicujemy wykres funkcji cosinus i odczytujemy rozwiązania nierówności:

Otrzymujemy, że rozwiązaniem I warunku jest : $x\in \left(-\frac{\pi }{3}+2k\pi ,\frac{\pi }{3}+2k\pi \right)k\in \mathbb{Z}$  

• II warunek:  $\cos x-\frac{1}{2}\ne 1$  

$\cos x\ne \frac{3}{2}$  

Zauważmy, że powyższy warunek jest spełniony przez każdą liczbę rzeczywistą, ponieważ funkcja cosinus przyjmuje wartości z przedziału  $⟨-1,1⟩$  

Otrzymujemy, że rozwiązaniem II warunku jest :  $x\in \mathbb{R}$  

• III warunek:  $-2x^2+13x-6>0$  

Rozwiązujemy nierówność:

$-2x^2+13x-6>0$  

Obliczamy pierwiastki, szkicujemy wykres i odczytujemy rozwiązanie:

$\Delta ={13}^2-4\cdot \left(-2\right)\cdot \left(-6\right)=169-48=121={11}^2$  

$\sqrt{\Delta }=11$  

$x_1=\frac{-13-11}{2\cdot \left(-2\right)}=\frac{-24}{-4}=6$  

$x_2=\frac{-13+11}{2\cdot \left(-2\right)}=\frac{-2}{-4}=\frac{1}{2}$  

Otrzymujemy, że rozwiązaniem III warunku jest : $x\in \left(\frac{1}{2},6\right)$  

 Bierzemy część wspólną trzech warunków i otrzymujemy dziedzinę funkcji f.

$\underline{\underline{D_f=\left(\frac{1}{2},\frac{\pi }{3}\right)\cup \left(\frac{5\pi }{3},6\right)}}$  

---