Przypomnijmy, że jeżeli krawędź sześcianu ma długość a, to przekątna sześcianu ma długość    $d=a\sqrt{3}$   Objętość sześcianu jest równa   $V=a^3$    Pole powierzchni całkowitej sześcianu jest równe  $P_c=6a^2$

---

Z treści zadania wiemy, że objętość sześcianu jest równa

$V=27{\text{cm}}^3$  

Ze wzoru na objętość sześcianu otrzymujemy, że krawędź sześcianu ma długość

$a^3=27{\text{cm}}^3$  

$a=\sqrt[3]{27}=3\text{cm}$

---

 a)

Obliczamy pole przekroju, który zawiera jedną z przekątnych podstawy i jest nachylony do płaszczyzny podstawy pod kątem 30°. 

Sporządzamy rysunek pomocniczy. Przyjmujemy oznaczenia takie jak na rysunku.

Rysunek:

Szukanym przekrojem jest trójkąt BDE. Jest on trójkątem równoramiennym. Wynika to z faktu, że trójkąty DCE i BCE są przystające. Wobec tego

$\left|BE\right|=\left|DE\right|$  

Zauważmy, ze odcinek DB jest przekątną kwadratu ABCD, a punkt O jest punktem przecięcia przekątnych kwadratu. 

Ze wzoru na przekątną kwadratu mamy, że

$|BD|=3\sqrt{2}\text{cm}$  

Wobec tego

$\left|AO\right|=\left|BO\right|=\left|CO\right|=\left|DO\right|=\frac{1}{2}\cdot 3\sqrt{2}=\frac{3\sqrt{2}}{2}\text{cm}$  

Korzystamy z definicji cosinusa w trójkącie prostokątnym OCE i obliczamy długość odcinka OE. Mamy:

$\cos {30}^{\circ }=\frac{\left|OC\right|}{\left|OE\right|}$  

$\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\frac{3\sqrt{2}}{2}}{\left|OE\right|}$  

$\frac{\sqrt{3}}{2}\left|OE\right|=\frac{3\sqrt{2}}{2}\mid \cdot 2$  

$\sqrt{3}\cdot \left|OE\right|=3\sqrt{2}\mid :\sqrt{3}$  

$\left|OE\right|=\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{3\sqrt{6}}{3}=\sqrt{6}\text{cm}$  

Odcinek OE jest wysokością trójkąta BDE. 

Korzystamy ze wzoru na pole trójkąta i obliczamy pole przekroju.

$P_{\Delta BDE}=\frac{1}{2}|BD|\cdot |OE|=\frac{1}{2}\cdot 3\sqrt{2}\cdot \sqrt{6}=\frac{3}{2}\sqrt{12}=\frac{3}{2}\cdot 2\sqrt{3}=\underline{\underline{3\sqrt{3}{\text{cm}}^2}}$  

---

b)

Obliczamy pole przekroju, który zawiera jedną z przekątnych podstawy i jest nachylony do płaszczyzny podstawy pod kątem 30°. 

Sporządzamy rysunek pomocniczy. Przyjmujemy oznaczenia takie jak na rysunku.

Rysunek:

Szukanym przekrojem będzie trapez równoramienny. Przekrój przecina podstawę sześcianu A₁B₁C₁D₁ w punktach E i F. Płaszczyzny ABCD i A₁B₁C₁D₁ są do siebie równoległe, zatem odcinki DB i EF też są do siebie równoległe. Trójkąty BEB₁ i DD₁F są przystające - na podstawie cechy (bkb). Zatem 

$\left|BE\right|=\left|DF\right|,$    co dowodzi, że czworokąt BDFE jest trapezem równoramiennym.

Prowadzimy przez środki podstaw trapezu wysokość OM. Niech K będzie rzutem prostokątnym punktu M na podstawę ABCD. 

Wtedy 

$|MK|=3\text{cm}$  

Korzystamy z trójkąta prostokątnego OKM. Jest to trójkąt, którego kąty mają miarę 30°, 60°, 90°.  Z własności długości boków takiego trójkąta mamy

$|MK|=\left|OK\right|\cdot \sqrt{3}$

$3=\left|OK\right|\cdot \sqrt{3}\mid :\sqrt{3}$  

$\frac{3}{\sqrt{3}}=\left|OK\right|$  

$\left|OK\right|=\sqrt{3}\text{cm}$  

Wtedy również z własności trójkąta 30°, 60°, 90° mamy, że

$|OM|=2\cdot \left|OK\right|=2\sqrt{3}\text{cm}$  

 

Wyznaczymy teraz długość krótszej podstawy trapezu.  Przez x oznaczamy długość odcinka MC₁. Zauważmy, że jego długość jest równa również odcinkowi KC.

Z kolei długość odcinka KC jest równa:

$\left|KC\right|=\left|OC\right|-\left|OK\right|=\frac{3\sqrt{2}}{2}-\sqrt{3}=\frac{3\sqrt{2}-2\sqrt{3}}{2}\text{cm}$  

Stąd 

$x=\frac{3\sqrt{2}-2\sqrt{3}}{2}\text{cm}$  

Spójrzmy na trójkąt prostokątny EFC₁. Punkt M jest środkiem przeciwprostokątnej tego trójkąta. Stąd trójkąt FMC₁ jest trójkątem prostokątnym równoramiennym i 

$\left|FM\right|=\left|M{C}_1\right|=x$  

Zatem podstawa EF trapezu ma długość

$\left|EF\right|=2x=2\cdot \frac{\sqrt{2}-2\sqrt{3}}{2}=\left(3\sqrt{2}-2\sqrt{3}\right)\text{cm}$  

Korzystamy ze wzoru na pole trapezu i otrzymujemy pole przekroju

$P=\frac{\left(\left|DB\right|+\left|EF\right|\right)\cdot |OM|}{2}=\frac{\left(3\sqrt{2}+3\sqrt{2}-2\sqrt{3}\right)\cdot 2\sqrt{3}}{2}=\frac{\left(6\sqrt{2}-2\sqrt{3}\right)\cdot \sout{2}\sqrt{3}}{\sout{2}}=$  

$=6\sqrt{6}-6=\underline{\underline{6\left(\sqrt{6}-1\right)}}{\text{cm}}^2$