Przypomnijmy, że: Wariancją zestawu danych  $x_1,x_2,\dots ,x_n$   nazywamy średnią arytmetyczną kwadratów różnic pomiędzy wynikami badanej cechy, a ich średnią    $\overline{x}$   Wariancję oznaczamy symbolem   ${\sigma }^2$  . Wówczas:   $\left(\ast \right){\sigma }^2=\frac{{\left(x_1-\overline{x}\right)}^2+{\left(x_2-\overline{x}\right)}^2+\dots +{\left(x_n-\overline{x}\right)}^2}{n}$ Jeżeli  $x_1,x_2,\dots ,x_n$  są wartościami badanej cechy, których średnia arytmetyczna jest równa  $\overline{x},$   to wariancja jest równa: $\left(\ast \ast \right){\sigma }^2=\frac{x_1^2+x_2^2+\dots x_n^2}{n}-\overline{x}{}^2$

---

a) 

Obliczymy na dwa sposoby wariancję zestawu danych:

$5,9,10,16,20$  

Obliczamy średnią arytmetyczną:

$\overline{x}=\frac{5+9+10+16+20}{5}=\frac{60}{5}=12$  

I sposób (z definicji (*)):

${\sigma }^2=\frac{{\left(5-12\right)}^2+{\left(9-12\right)}^2+{\left(10-12\right)}^2+{\left(16-12\right)}^2+{\left(20-12\right)}^2}{5}$

$=\frac{{\left(-7\right)}^2+{\left(-3\right)}^2+{\left(-2\right)}^2+4^2+8^2}{5}=\frac{49+9+4+16+64}{5}=\frac{142}{5}=\underline{\underline{28,4}}$

II sposób (ze wzoru (**)):

${\sigma }^2=\frac{5^2+9^2+{10}^2+{16}^2+{20}^2}{5}-{12}^2=$

$=\frac{25+81+100+256+400}{5}-144=\frac{862}{5}-144=172,4-144=\underline{\underline{28,4}}$  

---

b) 

Obliczymy na dwa sposoby wariancję zestawu danych:

$-2,-2,-2,3,4,4,5,5,7,8$  

Zauważmy, że liczba -2 powtarza się trzy razy, liczba 4- dwa razy oraz liczba 5 - dwa razy,

Obliczamy średnią arytmetyczną:

$\overline{x}=\frac{3\cdot \left(-2\right)+3+2\cdot 4+2\cdot 5+7+8}{10}=\frac{30}{10}=3$  

I sposób (z definicji (*)):

${\sigma }^2=\frac{3\cdot {\left(-2-3\right)}^2+{\left(3-3\right)}^2+2\cdot {\left(4-3\right)}^2+2\cdot {\left(5-3\right)}^2+{\left(7-3\right)}^2+{\left(8-3\right)}^2}{10}=$

$=\frac{3\cdot {\left(-5\right)}^2+0^2+2\cdot 1^2+2\cdot 2^2+4^2+5^2}{10}$  

$=\frac{75+0+2+8+16+25}{10}=\frac{126}{10}=\underline{\underline{12,6}}$  

II sposób (ze wzoru (**)):

${\sigma }^2=\frac{3\cdot {\left(-2\right)}^2+3^2+2\cdot 4^2+2\cdot 5^2+7^2+8^2}{10}-3^2=$

$=\frac{12+9+32+50+49+64}{10}-9=\frac{216}{10}-9=21,6-9=\underline{\underline{12,6}}$