Wykaż, że...- Zadanie 1.23: Matematyka 4. Zakres rozszerzony

Rozwiązanie

Pokażemy, że prawdziwa jest równość

$3 7 + 52 - 3 52 - 7 = 2$

Korzystając ze wzorów skróconego mnożenia

$(a + b)^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}$

$(a - b)^{3} = a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} - b^{3}$

wyrażenia pod każdym z pierwiastków możemy zapisać w postaci

$7 + 52 = 1 + 6 + 32 + 22 = 1^{3} + 3 \cdot 1 \cdot 2^{2} + 3 \cdot 1 \cdot 2 + (2)^{3} = (1 + 2)^{3}$
$52 - 7 = 22 + 32 - 6 - 1 = (2)^{3} + 3 \cdot 2 \cdot 1 - 3 \cdot 2^{2} \cdot 1 - 1^{3} = (2 - 1)^{3}$

zatem otrzymujemy

$3 7 + 52 - 3 52 - 7 = 3 (1 + 2)^{3} - 3 (2 - 1)^{3} =$

$= 1 + 2 - (2 - 1) = 1 + 2 - 2 + 1 = 2$

c.n.d.

Dana jest równość

$3 6 + \frac{847}{27} + 3 6 - \frac{847}{27} = 3$

Zauważmy, że

$\frac{847}{27} = \frac{121 \cdot 7}{9 \cdot 3} = \frac{11 7}{3 3} = \frac{11 21}{9} = \frac{11}{9} 21$

Korzystając ze wzorów skróconego mnożenia

$(a + b)^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}$

$(a - b)^{3} = a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} - b^{3}$

wyrażenia pod każdym z pierwiastków możemy zapisać w postaci

$6 + \frac{11}{9} 21 = \frac{1296}{216} + \frac{264}{216} 21 = \frac{729}{216} + \frac{567}{216} + \frac{243}{216} 21 + \frac{21}{216} 21 =$
$= (\frac{9}{6})^{3} + 3 \cdot \frac{9}{6} \cdot (\frac{1}{6} 21)^{2} + 3 \cdot (\frac{9}{6})^{2} \cdot \frac{1}{6} 21 + (\frac{1}{6} 21)^{3} = (\frac{9}{6} + \frac{1}{6} 21)^{3}$
$6 - \frac{11}{9} 21 = \frac{1296}{216} - \frac{264}{216} 21 = \frac{729}{216} + \frac{567}{216} - \frac{243}{216} 21 - \frac{21}{216} 21 =$
$= (\frac{9}{6})^{3} + 3 \cdot \frac{9}{6} \cdot (\frac{1}{6} 21)^{2} - 3 \cdot (\frac{9}{6})^{2} \cdot \frac{1}{6} 21 - (\frac{1}{6} 21)^{3} = (\frac{9}{6} - \frac{1}{6} 21)^{3}$