a)

Rozwiążemy nierówność 

$\left(2\sqrt{3}-x\right)\left(\sqrt{3}+1\right)>7+\sqrt{3},x\in \mathbb{R}$  

Przekształcając nierówność dostajemy 

$\left(2\sqrt{3}-x\right)\left(\sqrt{3}+1\right)>7+\sqrt{3}\mid :\left(\sqrt{3}+1\right)>0$  

$2\sqrt{3}-x>\frac{7+\sqrt{3}}{\sqrt{3}+1}\mid -2\sqrt{3}$  

$-x>\frac{7+\sqrt{3}}{\sqrt{3}+1}-2\sqrt{3}\mid :\left(-1\right)$  

$x<2\sqrt{3}-\frac{7+\sqrt{3}}{\sqrt{3}+1}$  

przekształcając wyrażenie po prawej stronie nierówności mamy 

$2\sqrt{3}-\frac{7+\sqrt{3}}{\sqrt{3}+1}=\frac{2\sqrt{3}\left(\sqrt{3}+1\right)-\left(7+\sqrt{3}\right)}{\sqrt{3}+1}=\frac{6+2\sqrt{3}-7-\sqrt{3}}{\sqrt{3}+1}=\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}=\dots$  

usuwamy niewymierność z mianownika ułamka i dostajemy 

$\dots =\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}\cdot \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}-1}=\frac{{\left(\sqrt{3}-1\right)}^2}{{\sqrt{3}}^2-1^2}=\frac{3-2\sqrt{3}+1}{3-1}=\frac{4-2\sqrt{3}}{2}=\frac{2\left(2-\sqrt{3}\right)}{2}=2-\sqrt{3}$  

otrzymaliśmy więc, że

$\underline{\underline{x<2-\sqrt{3}}}$  

---

b)

Rozwiążemy nierówność 

${\left(2x-1\right)}^2\ge \frac{\left(\sqrt[3]{49}-\sqrt[3]{7}+1\right)\left(\sqrt[3]{7}+1\right)}{2},x\in \mathbb{R}$  

Przekształcając nierówność mamy 

${\left(2x-1\right)}^2\ge \frac{\left(\sqrt[3]{7}+1\right)\left(\sqrt[3]{7^2}-\sqrt[3]{7}\cdot 1+1^2\right)}{2}$  

po prawej stronie nierówności korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na sumę sześcianów

$a^3+b^3=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)$

i dostajemy 

${\left(2x-1\right)}^2\ge \frac{{\left(\sqrt[3]{7}\right)}^3+1^3}{2}$  

${\left(2x-1\right)}^2\ge \frac{7+1}{2}$  

${\left(2x-1\right)}^2\ge 4\mid \sqrt{}$  

$\left|2x-1\right|\ge 2$  

korzystając z własności wartości bezwzględnej mamy 

$2x-1\ge 2\vee 2x-1\le -2$  

$2x\ge 32x\le -1$  

$x\ge \frac{3}{2}x\le -\frac{1}{2}$  

otrzymaliśmy więc, że 

$x\ge \frac{3}{2}\vee x\le -\frac{1}{2}$  

czyli 

$\underline{\underline{x\in (-\infty ,-\frac{1}{2}⟩\cup ⟨\frac{3}{2},+\infty )}}$  

---

c)

Rozwiążemy nierówność 

$\left(1+\sqrt{2}\right)x<\frac{x^2+{\left(0,25\right)}^{-1}\cdot x+8^{\frac{2}{3}}}{1-\sqrt{2}},x\in \mathbb{R}$  

Korzystając z praw działań na potęgach dostajemy 

$\left(1+\sqrt{2}\right)x<\frac{x^2+{\left(\frac{1}{4}\right)}^{-1}\cdot x+\sqrt[3]{8^2}}{1-\sqrt{2}}$  

$\left(1+\sqrt{2}\right)x<\frac{x^2+4x+\sqrt[3]{64}}{1-\sqrt{2}}$  

$\left(1+\sqrt{2}\right)x<\frac{x^2+4x+4}{1-\sqrt{2}}\mid \cdot \left(1-\sqrt{2}\right)$  

(1-√2 ≈ -0,41 < 0 czyli mnożymy nierówność stronami przez liczbę ujemną)

$\left(1+\sqrt{2}\right)\left(1-\sqrt{2}\right)x>x^2+4x+4$  

po lewej stronie nierówności korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów i mamy 

$\left(1^2-{\sqrt{2}}^2\right)x>x^2+4x+4$  

$-x>x^2+4x+4\mid +x$  

$0>x^2+5x+4$  

$x^2+5x+4<0$  

$\Delta =5^2-4\cdot 1\cdot 4=25-16=9$  

$\sqrt{\Delta }=3$  

$x_1=\frac{-5-3}{2}=-4$  

$x_2=\frac{-5+3}{2}=-1$  

korzystając z rysunku odczytujemy rozwiązanie nierówności

$\underline{\underline{x\in \left(-4,-1\right)}}$  

---

d)

Rozwiążemy nierówność 

$\frac{x^2+12}{\sqrt{3}+1}>\left(6-2\sqrt{3}\right)\cdot x,x\in \mathbb{R}$  

Przekształcając nierówność otrzymujemy 

$\frac{x^2+12}{\sqrt{3}+1}>2\left(3-\sqrt{3}\right)x\mid \cdot \left(\sqrt{3}+1\right)>0$  

$x^2+12>2\cdot \left(3-\sqrt{3}\right)\cdot \left(\sqrt{3}+1\right)\cdot x$  

$x^2+12>2\left(3\sqrt{3}+3-3-\sqrt{3}\right)\cdot x$  

$x^2+12>2\cdot 2\sqrt{3}\cdot x$  

$x^2+12>4\sqrt{3}x\mid -4\sqrt{3}x$  

$x^2-4\sqrt{3}x+12>0$  

$x^2-2\cdot 2\sqrt{3}\cdot x+{\left(2\sqrt{3}\right)}^2>0$  

${\left(x-2\sqrt{3}\right)}^2>0\left(\text{*}\right)$  

kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest liczbą nieujemną, czyli 

$\left(x-2\sqrt{3}\right)\ge 0,x\in \mathbb{R}$  

zatem nierówność (*) nie będzie spełniona tylko w przypadku, gdy 

${\left(x-2\sqrt{3}\right)}^2=0\iff x-2\sqrt{3}=0\iff x=2\sqrt{3}$  

ostatecznie więc zbiór rozwiązań danej nierówności jest postaci 

$x\in \mathbb{R}\backslash \left\{2\sqrt{3}\right\}$