Z talii 24 kart losujemy 5 kart.

W talii 24 kart są 4 asy, 4 króle, 4 damy, 4 walety, 4 dziesiątki, 4 dziewiątki.

Wobec tego:

$\left|\Omega \right|=\left(\begin{array}{c}24\\ 5\end{array}\right)=\frac{24!}{5!\cdot 19!}=\frac{{\sout{24}}^4\cdot 23\cdot 22\cdot 21\cdot {\sout{20}}^1}{{\sout{5\cdot 4}}^1\cdot {\sout{3\cdot 2}}^1}=42504$  

---

a)

A - wylosujemy 4 asy

$\left|A\right|=\left(\begin{array}{c}4\\ 4\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}20\\ 1\end{array}\right)=1\cdot 20=20$

Obliczamy prawdopodobieństwo zdarzenia A:

$P\left(A\right)=\frac{\left|A\right|}{\left|\Omega \right|}=\frac{20}{42504}=\frac{5}{10626}$   

---

b)

B - wylosujemy 3 dziesiątki i jedną parę takich samych figur

W talii 24 kart figurami są: asy, króle, damy, walety.

$\left|B\right|=\left(\begin{array}{c}4\\ 3\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}4\\ 2\end{array}\right)\cdot 4=4\cdot \frac{4!}{2!\cdot 2!}\cdot 4=4\cdot \frac{{\sout{4}}^2\cdot 3}{{\sout{2}}^1}\cdot 4=96$  

Obliczamy prawdopodobieństwo zdarzenia B:

$P\left(B\right)=\frac{\left|B\right|}{\left|\Omega \right|}=\frac{96}{42504}=\frac{48}{21252}=\frac{12}{5313}=\frac{4}{1771}$  

---

c)

C - wylosujemy co najmniej dwa asy

C' - wylosujemy mniej niż dwa asy

$\left|C{}^{\prime }\right|=\left(\begin{array}{c}20\\ 5\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}4\\ 1\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}20\\ 4\end{array}\right)=$

 

$=\frac{20!}{5!\cdot 15!}+4\cdot \frac{20!}{4!\cdot 16!}=$   

$=\frac{{\sout{20}}^1\cdot 19\cdot {\sout{18}}^3\cdot 17\cdot 16}{{\sout{5\cdot 4}}^1\cdot {\sout{3\cdot 2}}^1}+4\cdot \frac{{\sout{20}}^5\cdot 19\cdot {\sout{18}}^3\cdot 17}{{\sout{4}}^1\cdot {\sout{3\cdot 2}}^1}=$

$=15504+19380=34884$   

Obliczamy prawdopodobieństwo zdarzenia C:

$P\left(C\right)=1-P\left(C{}^{\prime }\right)=1-\frac{\left|C{}^{\prime }\right|}{\left|\Omega \right|}=1-\frac{34884}{42504}=$  

$=\frac{42504}{42504}-\frac{34884}{42504}=\frac{7620}{42504}=\frac{1905}{10626}=\frac{635}{3542}$  

---

d)

D - wylosujemy dwa króle lub trzy damy

Zatem mamy dwie sytuacje: losujemy 2 króle z 4 i 3 inne karty z 20 lub 3 damy z 4 i 2 inne karty z 20.

Zauważamy, że w pierwszej sytuacji możemy wybrać 2 króle i 3 damy oraz w drugie sytuacji możemy
wybrać 3 damy i 2 króle, więc ta sytuacja się powtarza. Zatem musimy odjąć od wszystkich możliwych
sytuacji wylosowania dwóch króli lub trzech dam sytuację kiedy wylosujemy dwa króle i trzy damy.

$\left|D\right|=\left(\begin{array}{c}4\\ 2\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}20\\ 3\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}4\\ 3\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}20\\ 2\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}4\\ 3\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}4\\ 2\end{array}\right)=$

$=\frac{4!}{2!\cdot 2!}\cdot \frac{20!}{3!\cdot 17!}+4\cdot \frac{20!}{2!\cdot 18!}-4\cdot \frac{4!}{2!\cdot 2!}=$

$=\frac{{\sout{4}}^2\cdot 3}{{\sout{2}}^1}\cdot \frac{{\sout{20}}^{10}\cdot 19\cdot {\sout{18}}^6}{{\sout{3}}^1\cdot {\sout{2}}^1}+{\sout{4}}^2\cdot \frac{20\cdot 19}{{\sout{2}}^1}-{\sout{4}}^2\cdot \frac{4\cdot 3}{{\sout{2}}^1}=$   

$=6840+760-24=7576$

Obliczamy prawdopodobieństwo zdarzenia D:

$P\left(D\right)=\frac{\left|D\right|}{\left|\Omega \right|}=\frac{7576}{42504}=\frac{947}{5313}$