Wyznacz wszystkie wartości parametru...- Zadanie 2.52: Matematyka 4. Zakres rozszerzony

Rozwiązanie

$f (x) = lo g_{5} (m x^{2} + 4 m x + m + 3)$

Wyznaczymy wszystkie wartości parametru m, m∈R, dla których dziedziną funkcji f jest zbiór liczb rzeczywistych.

Wyznaczamy dziedzinę funkcji f:

$m x^{2} + 4 m x + m + 3 > 0 (*)$

I przypadek:

$m = 0$

Wtedy nierówność (*) ma postać:

$0 \cdot x^{2} + 4 \cdot 0 \cdot x + 0 + 3 > 0$

$3 > 0$

Otrzymujemy nierówność tożsamościową.

Rozwiązaniem nierówności jest więc:

$x \in R$

Stąd otrzymujemy, że:

$\underline{m = 0}$

II przypadek:

$m \neq = 0$

Rozwiązaniem nierówności (*) jest zbiór liczb rzeczywistych, jeśli ramiona paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej y=mx²+4mx+m+3 są skierowane do góry (współczynnik przy x² jest dodatni) oraz funkcja y=mx²+4mx+m+3 nie ma miejsc zerowych (Δ<0):

${m > 0 Δ < 0$

Obliczamy wyróżnik:

$Δ = (4 m)^{2} - 4 \cdot m \cdot (m + 3) = 16 m^{2} - 4 m^{2} - 12 m = 12 m^{2} - 12 m$

Rozwiązujemy nierówność kwadratową:

$Δ < 0$

$12 m^{2} - 12 m < 0$

$12 m (m - 1) < 0$

$m = 0 \lor m - 1 = 0$

$m = 0 \lor m = 1$

$m \in (0, 1)$

Stąd:

${m > 0 m \in (0, 1)$

Stąd otrzymujemy, że:

$\underline{m \in (0, 1)}$

Z obu przypadków otrzymujemy, że:

$m = 0 \lor m \in (0, 1)$

Ostatecznie więc:

$\underline{\underline{m \in ⟨ 0, 1)}}$

$f (x) = ln [(m^{2} + m - 6) x^{2} + (m - 2) x + 1]$

Wyznaczymy wszystkie wartości parametru m, m∈R, dla których dziedziną funkcji f jest zbiór liczb rzeczywistych.

Wyznaczamy dziedzinę funkcji f:

$(m^{2} + m - 6) x^{2} + (m - 2) x + 1 > 0 (*)$

I przypadek:

$m^{2} + m - 6 = 0$

$Δ = 1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6) = 1 + 24 = 25, Δ = 5$

$m_{1} = \frac{- 1 + 5}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2$

$m_{2} = \frac{- 1 - 5}{2 \cdot 1} = \frac{- 6}{2} = - 3$

$m \in {- 3, 2}$

Dla m=-3 nierówność (*) ma postać:

$0 \cdot x^{2} + (- 3 - 2) x + 1 > 0$

$0 - 5 x + 1 > 0$

$- 5 x > - 1$

$x < \frac{1}{5}$

$x \in (- \infty, \frac{1}{5})$

Rozwiązaniem nierówności nie jest zbiór liczb rzeczywistych.

Dla m=2 nierówność (*) ma postać:

$0 \cdot x^{2} + (2 - 2) x + 1 > 0$

$0 + 0 \cdot x + 1 > 0$

$1 > 0$

Otrzymujemy nierówność tożsamościową.

Rozwiązaniem nierówności jest więc:

$x \in R$

Stąd otrzymujemy, że:

$\underline{m = 2}$

II przypadek:

$m^{2} + m - 6 \neq = 0$

Z powyższych:

$m \in R \ {- 3, 2}$

Rozwiązaniem nierówności (*) jest zbiór liczb rzeczywistych, jeśli ramiona paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej y=(m²+m-6)x²+(m-2)x+1 są skierowane do góry (współczynnik przy x² jest dodatni) oraz funkcja y=(m²+m-6)x²+(m-2)x+1 nie ma miejsc zerowych (Δ<0):