Przypomnijmy, że: Funkcja liczbowa f jest funkcją parzystą wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby x należącej do dziedziny funkcji f liczba -x należy do dziedziny tej funkcji oraz f(-x)=f(x). Funkcja liczbowa f jest funkcją nieparzystą wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby x należącej do dziedziny funkcji f liczba -x należy do dziedziny tej funkcji oraz f(-x)=-f(x).

---

a)

$f\left(x\right)=x^3\cdot \log \frac{8-x}{8+x}$  

Wykażemy, że funkcja f jest parzysta.

 

1)

Wyznaczamy dziedzinę funkcji f:

$8+x\ne 0\wedge \frac{8-x}{8+x}>0\mid \cdot {\left(8+x\right)}^2$  

$x\ne -8\wedge \left(8-x\right)\left(8+x\right)>0$  

$D_f=\left(-8,8\right)$  

Dziedziną funkcji f jest przedział symetryczny względem punktu 0.

Otrzymujemy więc, że dla dowolnej liczby x należącej do dziedziny funkcji f liczba -x należy do dziedziny tej funkcji.

 

2)

Zauważmy, że:

$f\left(-x\right)={\left(-x\right)}^3\cdot \log \frac{8-\left(-x\right)}{8+\left(-x\right)}$  

$f\left(-x\right)=-x^3\cdot \log \frac{8+x}{8-x}$  

$f\left(-x\right)=-x^3\cdot \log {\left(\frac{8-x}{8+x}\right)}^{-1}$  

$f\left(-x\right)=-x^3\cdot \left(-\log \left(\frac{8-x}{8+x}\right)\right)$  

$f\left(-x\right)=x^3\cdot \log \frac{8-x}{8+x}$  

Otrzymujemy, że dla dowolnej liczby x należącej do dziedziny funkcji f:

$f\left(-x\right)=f\left(x\right)$  

 

Zatem funkcja f jest parzysta.

c. k. d.

---

b)

$g\left(x\right)={\log }_{\frac{1}{2}}\left(\left|x\right|-x\right)$  

Wykażemy, że funkcja g nie jest ani parzysta, ani nieparzysta.

 

1)

Wyznaczamy dziedzinę funkcji g:

$\left|x\right|-x>0$  

$\left|x\right|>x$  

$D_g=\left(-\infty ,0\right)$  

Dziedziną funkcji g jest przedział, który nie jest symetryczny względem punktu 0.

Otrzymujemy więc, że dla dowolnej liczby x należącej do dziedziny funkcji g liczba -x nie należy do dziedziny tej funkcji.

 

Zatem funkcja g nie jest ani parzysta, ani nieparzysta.

c. k. d.

---

c)

$h\left(x\right)=\ln \left(x+\sqrt{1+x^2}\right)$  

Wykażemy, że funkcja h jest nieparzysta.

 

1)

Wyznaczamy dziedzinę funkcji h:

$x+\sqrt{1+x^2}>0$  

$D_h=\mathbb{R}$  

Dziedziną funkcji h jest przedział symetryczny względem punktu 0.

Otrzymujemy więc, że dla dowolnej liczby x należącej do dziedziny funkcji h liczba -x należy do dziedziny tej funkcji.

 

2)

Zauważmy, że:

$h\left(-x\right)=\ln \left(-x+\sqrt{1+{\left(-x\right)}^2}\right)$  

$h\left(-x\right)=\ln \left(-x+\sqrt{1+x^2}\right)$  

Ponadto:

$-h\left(x\right)=-\ln \left(x+\sqrt{1+x^2}\right)$  

$-h\left(x\right)=\ln {\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)}^{-1}$  

$-h\left(x\right)=\ln \frac{1}{x+\sqrt{1+x^2}}$  

$-h\left(x\right)=\ln \left(\frac{1}{x+\sqrt{1+x^2}}\cdot \frac{x-\sqrt{1+x^2}}{x-\sqrt{1+x^2}}\right)$  

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia (a-b)(a+b)=a²-b²:

$-h\left(x\right)=\ln \frac{x-\sqrt{1+x^2}}{x^2-\left(1+x^2\right)}$  

$-h\left(x\right)=\ln \frac{x-\sqrt{1+x^2}}{x^2-1-x^2}$  

$-h\left(x\right)=\ln \frac{x-\sqrt{1+x^2}}{-1}$  

$-h\left(x\right)=\ln \left(-x+\sqrt{1+x^2}\right)$  

Otrzymujemy, że dla dowolnej liczby x należącej do dziedziny funkcji f:

$h\left(-x\right)=-h\left(x\right)$  

 

Zatem funkcja h jest nieparzysta.

c. k. d.