Przypomnijmy, że funkcje równe to funkcje, które mają taką samą dziedzinę i dla każdego argumentu należącego do tej dziedziny wartości obu funkcji są równe.

Definicja logarytmu: $\text{Jesˊli}a>0,a\ne 1\text{i}b>0,\text{to}\left({\log }_{a}b=c\iff a^c=b\right).$

---

a)

$f\left(x\right)={\log }_{\frac{1}{2}}\left(x-2\right)+{\log }_{\frac{1}{2}}\left(x+2\right)$  

Wyznaczamy dziedzinę funkcji f:

$x-2>0\wedge x+2>0$

$x>2\wedge x>-2$  

$D_f=\left(2,+\infty \right)$  

 

$g\left(x\right)={\log }_{\frac{1}{2}}\left(x^2-4\right)$  

Wyznaczamy dziedzinę funkcji g:

$x^2-4>0$  

$\left(x-2\right)\left(x+2\right)>0$  

$D_g=\left(-\infty ,-2\right)\cup \left(2,+\infty \right)$  

 

Zauważmy, że:

$D_f\ne D_g$  

 

Funkcje f i g nie są równe.

---

b)

$f\left(x\right)=\ln \left(x-1\right)-\ln \left(3-x\right)$  

Wyznaczamy dziedzinę funkcji f:

$x-1>0\wedge 3-x>0$  

$x>1\wedge -x>-3$  

$x>1\wedge x<3$  

$D_f=\left(1,3\right)$  

 

$g\left(x\right)=\ln \frac{1-x}{x-3}$  

Wyznaczamy dziedzinę funkcji g:

$\frac{1-x}{x-3}>0\mid \cdot {\left(x-3\right)}^2$  

$\left(1-x\right)\left(x-3\right)>0$  

$D_g=\left(1,3\right)$  

 

Zauważmy, że:

$D_f=D_g$  

 

Ponadto (korzystając z praw działań na logarytmach):

$f\left(x\right)=\ln \frac{x-1}{3-x}$  

Wzory funkcji f i g są identyczne, więc dla dowolnego argumentu wartości funkcji f i g są równe.

 

Funkcje f i g są równe.

---

c)

$f\left(x\right)={\log }_{\pi }\left(9x^2-6x+1\right)$  

Wyznaczamy dziedzinę funkcji f:

$9x^2-6x+1>0$  

${\left(3x-1\right)}^2>0$  

Wiemy, że kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest liczbą nieujemną, więc:

$3x-1\ne 0$  

$3x\ne 1$  

$x\ne \frac{1}{3}$  

$D_f=\mathbb{R}\backslash \left\{\frac{1}{3}\right\}$  

 

$g\left(x\right)=2{\log }_{\pi }\left(3x-1\right)$  

Wyznaczamy dziedzinę funkcji g:

$3x-1>0$  

$3x>1$  

$x>\frac{1}{3}$  

$D_g=\left(\frac{1}{3},+\infty \right)$  

 

Zauważmy, że:

$D_f\ne D_g$  

 

Funkcje f i g nie są równe.

---

d)

$f\left(x\right)={\log }_{\frac{2}{3}}{x}^4$  

Wyznaczamy dziedzinę funkcji f:

$x^4>0$

$x\ne 0$   

$D_f=\mathbb{R}\backslash \left\{0\right\}$  

 

$g\left(x\right)=4\cdot {\log }_{\frac{2}{3}}\left|x\right|$  

Wyznaczamy dziedzinę funkcji g:

$\left|x\right|>0$  

$x\ne 0$  

$D_g=\mathbb{R}\backslash \left\{0\right\}$  

 

Zauważmy, że:

$D_f=D_g$  

 

Ponadto (korzystając z praw działań na logarytmach):

$g\left(x\right)={\log }_{\frac{2}{3}}{\left|x\right|}^4$  

$g\left(x\right)={\log }_{\frac{2}{3}}{x}^4$  

Wzory funkcji f i g są identyczne, więc dla dowolnego argumentu wartości funkcji f i g są równe.

 

Funkcje f i g są równe.