Definicja logarytmu: $\text{Jesˊli}a>0,a\ne 1\text{i}b>0,\text{to}\left({\log }_{a}b=c\iff a^c=b\right).$

Przypomnijmy, że funkcją logarytmiczną nazywamy funkcję, którą można opisać wzorem: $f\left(x\right)={\log }_{a}x,\text{gdzie}a\in {\mathbb{R}}_{+}\backslash \left\{1\right\},x\in {\mathbb{R}}_{+}$   Funkcja ta jest: malejąca, gdy 0<a<1, rosnąca, gdy a>1.

---

a)

${\log }_{3}5\in \left(k,k+1\right),\text{gdzie}k\in \mathbb{Z}$  

Funkcja logarytmiczna o podstawie 3 jest rosnąca, więc dla większych argumentów przyjmuje większe wartości.

Zauważmy, że:

$\underset{3^1}{\underbrace{3}}<5<\underset{3^2}{\underbrace{9}}$  

Zatem:

${\log }_{3}3<{\log }_{3}5<{\log }_{3}9$  

$1<{\log }_{3}5<2$  

Stąd:

$\underline{\underline{k=1}}$  

---

b)

${\log }_{\frac{1}{2}}3\in \left(k,k+1\right),\text{gdzie}k\in \mathbb{Z}$  

Funkcja logarytmiczna o podstawie ¹/₂ jest malejąca, więc dla większych argumentów przyjmuje mniejsze wartości.

Zauważmy, że:

$\underset{2^1}{\underbrace{2}}<3<\underset{2^2}{\underbrace{4}}$  

Zatem:

${\log }_{\frac{1}{2}}2>{\log }_{\frac{1}{2}}3>{\log }_{\frac{1}{2}}4$  

$-1>{\log }_{\frac{1}{2}}3>-2$  

Stąd:

$\underline{\underline{k=-2}}$  

---

c)

${\log }_{15}7\in \left(k,k+1\right),\text{gdzie}k\in \mathbb{Z}$  

Funkcja logarytmiczna o podstawie 15 jest rosnąca, więc dla większych argumentów przyjmuje większe wartości.

Zauważmy, że:

$\underset{{15}^0}{\underbrace{1}}<7<\underset{{15}^1}{\underbrace{15}}$  

Zatem:

${\log }_{15}1<{\log }_{15}7<{\log }_{15}15$  

$0<{\log }_{15}7<1$  

Stąd:

$\underline{\underline{k=0}}$  

---

d)

${\log }_{\frac{1}{3}}4\in \left(k,k+1\right),\text{gdzie}k\in \mathbb{Z}$  

Funkcja logarytmiczna o podstawie ¹/₃ jest malejąca, więc dla większych argumentów przyjmuje mniejsze wartości.

Zauważmy, że:

$\underset{3^1}{\underbrace{3}}<4<\underset{3^2}{\underbrace{9}}$  

Zatem:

${\log }_{\frac{1}{3}}3>{\log }_{\frac{1}{3}}4>{\log }_{\frac{1}{3}}9$  

$-1>{\log }_{\frac{1}{3}}4>-2$  

Stąd:

$\underline{\underline{k=-2}}$  

---

e)

${\log }_{6}21\in \left(k,k+1\right),\text{gdzie}k\in \mathbb{Z}$  

Funkcja logarytmiczna o podstawie 6 jest rosnąca, więc dla większych argumentów przyjmuje większe wartości.

Zauważmy, że:

$\underset{6^1}{\underbrace{6}}<21<\underset{6^2}{\underbrace{36}}$  

Zatem:

${\log }_{6}6<{\log }_{6}21<{\log }_{6}36$  

$1<{\log }_{6}21<2$  

Stąd:

$\underline{\underline{k=1}}$  

---

f)

${\log }_{\frac{1}{8}}5\in \left(k,k+1\right),\text{gdzie}k\in \mathbb{Z}$  

Funkcja logarytmiczna o podstawie ¹/₈ jest malejąca, więc dla większych argumentów przyjmuje mniejsze wartości.

Zauważmy, że:

$\underset{8^0}{\underbrace{1}}<5<\underset{8^1}{\underbrace{8}}$  

Zatem:

${\log }_{\frac{1}{8}}1>{\log }_{\frac{1}{8}}5>{\log }_{\frac{1}{8}}8$  

$0>{\log }_{\frac{1}{8}}5>-1$  

Stąd:

$\underline{\underline{k=-1}}$  

---

g)

${\log }_{7}50\in \left(k,k+1\right),\text{gdzie}k\in \mathbb{Z}$  

Funkcja logarytmiczna o podstawie 7 jest rosnąca, więc dla większych argumentów przyjmuje większe wartości.

Zauważmy, że:

$\underset{7^2}{\underbrace{49}}<50<\underset{7^3}{\underbrace{343}}$  

Zatem:

${\log }_{7}49<{\log }_{7}50<{\log }_{7}343$  

$2<{\log }_{7}50<3$  

Stąd:

$\underline{\underline{k=2}}$  

---

h)

${\log }_{\frac{1}{3}}19\in \left(k,k+1\right),\text{gdzie}k\in \mathbb{Z}$  

Funkcja logarytmiczna o podstawie ¹/₃ jest malejąca, więc dla większych argumentów przyjmuje mniejsze wartości.

Zauważmy, że:

$\underset{3^2}{\underbrace{9}}<19<\underset{3^3}{\underbrace{27}}$  

Zatem:

${\log }_{\frac{1}{3}}9>{\log }_{\frac{1}{3}}19>{\log }_{\frac{1}{3}}27$  

$-2>{\log }_{\frac{1}{3}}19>-3$  

Stąd:

$\underline{\underline{k=-3}}$