a)

Rozwiążemy równanie 

$8^{\frac{x-3}{3x-7}}\cdot \sqrt[3]{{\left(\frac{1}{4}\right)}^{\frac{3x-1}{2x-2}}}=1$  

Dziedzina:

Mianownik ułamka musi być różny od zera, czyli 

$3x-7\ne 0\wedge 2x-2\ne 0$  

$x\ne \frac{7}{3}x\ne 1$  

czyli

$\underline{\underline{x\in \mathbb{R}\backslash \left\{1,\frac{7}{3}\right\}}}$   

Korzystając z praw działań na potęgach dostajemy 

${\left(2^3\right)}^{\frac{x-3}{3x-7}}\cdot {\left(\frac{1}{4}\right)}^{\frac{\frac{3x-1}{2x-2}}{3}}=1$  

$2^{\frac{3\cdot \left(x-3\right)}{3x-7}}\cdot {\left(\frac{1}{4}\right)}^{\frac{3x-1}{3\cdot \left(2x-2\right)}}=1$  

$2^{\frac{3\cdot \left(x-3\right)}{3x-7}}\cdot {\left(2^{-2}\right)}^{\frac{3x-1}{3\cdot \left(2x-2\right)}}=1$  

$2^{\frac{3\cdot \left(x-3\right)}{3x-7}}\cdot 2^{\frac{-2\cdot \left(3x-1\right)}{6\cdot \left(x-1\right)}}=1$  

Zauważmy, że 2⁰=1, czyli mamy 

$2^{\frac{3\left(x-3\right)}{3x-7}+\frac{-2\left(3x-1\right)}{6\cdot \left(x-1\right)}}=2^0$  

porównując wykładniki potęg mamy 

$\frac{3\left(x-3\right)}{3x-7}+\frac{-2\left(3x-1\right)}{6\left(x-1\right)}=0\mid \cdot \left(3x-7\right)\cdot 6\left(x-1\right)$  

$3\left(x-3\right)\cdot 6\left(x-1\right)-2\left(3x-1\right)\cdot \left(3x-7\right)=0\mid :2$  

$9\left(x-3\right)\left(x-1\right)-\left(3x-1\right)\left(3x-7\right)=0$  

$9\left(x^2-4x+3\right)-\left(9x^2-24x+7\right)=0$  

$9x^2-36x+27-9x^2+24x-7=0$  

$-12x+20=0$  

$-12x=-20\mid :\left(-12\right)$  

$x=\frac{20}{12}=\frac{5}{3}=1\frac{2}{3}$  

czyli równanie ma jedno rozwiązanie 

$\underline{\underline{x=1\frac{2}{3}}}$  

---

b)

Rozwiążemy równanie 

${\left(\frac{5}{2}\right)}^{\sqrt{9-x}-1}={\left(\frac{2}{5}\right)}^{\frac{4+\sqrt{9-x}}{\sqrt{9-x}}-5}$  

Dziedzina:

Pierwiastek kwadratowy jest określony dla liczb nieujemnych i mianownik ułamka musi być różny od zera, czyli

  $9-x\ge 0\wedge 9-x\ne 0$  

$9\ge x9\ne x$  

czyli 

$\underline{\underline{x<9}}$  

Korzystając z praw działań na potęgach dostajemy 

${\left({\left(\frac{2}{5}\right)}^{-1}\right)}^{\sqrt{9-x}-1}={\left(\frac{2}{5}\right)}^{\frac{4+\sqrt{9-x}}{\sqrt{9-x}}-5}$  

${\left(\frac{2}{5}\right)}^{1-\sqrt{9-x}}={\left(\frac{2}{5}\right)}^{\frac{4+\sqrt{9-x}}{\sqrt{9-x}}-5}$  

porównujemy wykładniki potęg i dostajemy 

$1-\sqrt{9-x}=\frac{4+\sqrt{9-x}}{\sqrt{9-x}}-5$  

niech 

$t=\sqrt{9-x}$  

zauważmy, że 

$x<9\Rightarrow \sqrt{9-x}>0\Rightarrow t>0$  

po zastosowaniu podstawienia równanie jest postaci 

$1-t=\frac{4+t}{t}-5\mid +5$  

$6-t=\frac{4+t}{t}\mid \cdot t$  

$6t-t^2=4+t\mid -4-t$  

$-t^2+5t-4=0$  

$\Delta =5^2-4\cdot \left(-1\right)\cdot \left(-4\right)=25-16=9$  

$\sqrt{\Delta }=3$  

$t_1=\frac{-5-3}{-2}=4$  

$t_2=\frac{-5+3}{-2}=1$  

czyli 

$t=1\vee t=4$  

wracając do podstawienia mamy 

$\sqrt{9-x}=1\vee \sqrt{9-x}=4$  

$9-x=19-x=16$  

$x=8x=-7$  

czyli równanie ma dwa rozwiązania 

$\underline{\underline{x\in \left\{-7,8\right\}}}$  

---

c)

Rozwiążemy równanie 

$2^{2+\frac{x-3}{x}}-5\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{3-x}{x}+2}=11$  

Dziedzina:

Mianownik ułamka musi być różny od zera, czyli 

$\underline{\underline{x\ne 0}}$  

Korzystając z praw działań na potęgach mamy 

$2^{\frac{x-3}{x}+2}-5\cdot {\left(2^{-1}\right)}^{\frac{3-x}{x}+2}=11$  

$2^{\frac{x-3}{x}+2}-5\cdot 2^{-\left[\frac{3-x}{x}+2\right]}=11$  

$2^{\frac{x-3}{x}+2}-5\cdot 2^{\frac{x-3}{x}-2}=11$  

$2^{\frac{x-3}{x}}\cdot 2^2-5\cdot 2^{\frac{x-3}{x}}\cdot 2^{-2}=11$  

$4\cdot 2^{\frac{x-3}{x}}-5\cdot 2^{\frac{x-3}{x}}\cdot \frac{1}{4}=11$  

$4\cdot 2^{\frac{x-3}{x}}-\frac{5}{4}\cdot 2^{\frac{x-3}{x}}=11$  

$\frac{11}{4}\cdot 2^{\frac{x-3}{x}}=11\mid :\frac{11}{4}$  

$2^{\frac{x-3}{x}}=4$  

$2^{\frac{x-3}{x}}=2^2$  

porównując wykładniki potęg mamy 

$\frac{x-3}{x}=2\mid \cdot x$  

$x-3=2x\mid -x$  

$-3=x$  

czyli 

$\underline{\underline{x=-3}}$  

---

d)

Rozwiążemy równanie 

$\frac{3^{x^2-2}+5}{3^{x^2-1}-9}=\frac{14}{9\left(3^{x^2-3}-1\right)}$  

$\frac{3^{x^2-2}+5}{3^{x^2-1}-3^2}=\frac{14}{9\left(3^{x^2-3}-1\right)}$  

$\frac{3^{x^2-2}+5}{3^2\left(3^{x^2-1-2}-1\right)}=\frac{14}{9\left(3^{x^2-3}-1\right)}$  

$\frac{3^{x^2-2}+5}{9\left(3^{x^2-3}-1\right)}=\frac{14}{9\left(3^{x^2-3}-1\right)}$  

Dziedzina:

Mianownik ułamka musi być różny od zera, czyli 

$3^{x^2-3}-1\ne 0$  

$3^{x^2-3}\ne 1$  

$3^{x^2-3}\ne 3^0$  

porównujemy wykładniki i mamy 

$x^2-3\ne 0$  

$x^2\ne 3$  

$x\ne \sqrt{3}\wedge x\ne -\sqrt{3}$  

czyli 

$\underline{\underline{x\in \mathbb{R}\backslash \left\{-\sqrt{3},\sqrt{3}\right\}}}$  

Przekształcając równość dostajemy 

$\frac{3^{x^2-2}+5}{9\left(3^{x^2-3}-1\right)}=\frac{14}{9\left(3^{x^2-3}-1\right)}\mid \cdot 9\left(3^{x^2-3}-1\right)$  

$3^{x^2-2}+5=14\mid -5$  

$3^{x^2-2}=9$  

$3^{x^2-2}=3^2$  

porównujemy wykładniki potęg i otrzymujemy 

$x^2-2=2$  

$x^2=4$  

$x=2\vee x=-2$  

czyli równanie ma dwa rozwiązania 

$\underline{\underline{x\in \left\{-2,2\right\}}}$