a)

Założenie:

$9^x+{25}^x=2\cdot {15}^x$  

Teza:

$2^x<\sqrt{3}$  

Dowód:

Korzystając z praw działań na potęgach dostajemy 

$9^x+{25}^x=2\cdot {15}^x$  

${\left(3^2\right)}^x+{\left(5^2\right)}^x=2\cdot {\left(3\cdot 5\right)}^x$  

$3^{2x}+5^{2x}=2\cdot 3^x\cdot 5^x\mid :\left(3^x\cdot 5^x\right)$  

$\frac{3^{2x}}{3^x\cdot 5^x}+\frac{5^{2x}}{3^x\cdot 5^x}=2$  

$\frac{3^x}{5^x}+\frac{5^x}{3^x}=2$  

${\left(\frac{3}{5}\right)}^x+{\left(\frac{5}{3}\right)}^x=2$  

${\left(\frac{3}{5}\right)}^x+\frac{1}{{\left(\frac{3}{5}\right)}^x}=2$  

użyjemy podstawiania 

$t={\left(\frac{3}{5}\right)}^x,t>0$  

wtedy 

$t+\frac{1}{t}=2\mid \cdot t$  

$t^2+1=2t\mid -2t$  

$t^2-2t+1=0$  

${\left(t-1\right)}^2=0$  

$\left|t-1\right|=0$  

$t-1=0$  

$t=1$  

wracając do podstawienia mamy 

${\left(\frac{3}{5}\right)}^x=1$  

${\left(\frac{3}{5}\right)}^x={\left(\frac{3}{5}\right)}^0$  

porównując wykładniki mamy 

$x=0$  

zatem 

$2^x=2^0=1<\sqrt{3}$  

czyli nierówność 

$2^x<\sqrt{3}$  

jest prawdziwa.

c.n.d.

---

b)

Założenie:

${16}^x+4^{x+1}=4\cdot 8^x$  

Teza:

$3^x>\sqrt{5}$  

Dowód:

Korzystając z praw działań na potęgach dostajemy 

${16}^x+4^{x+1}=4\cdot 8^x$  

${\left(2^4\right)}^x+{\left(2^2\right)}^{x+1}=2^2\cdot {\left(2^3\right)}^x$  

$2^{4\cdot x}+2^{2\cdot \left(x+1\right)}=2^2\cdot 2^{3\cdot x}$  

$2^{4x}+2^{2x+2}=2^{2+3x}\mid :2^{2+3x}>0$  

$\frac{2^{4x}}{2^{2+3x}}+\frac{2^{2x+2}}{2^{2+3x}}=1$  

$2^{4x-\left(2+3x\right)}+2^{2x+2-\left(2+3x\right)}=1$  

$2^{x-2}+2^{-x}=1$  

$2^x\cdot 2^{-2}+\frac{1}{2^x}=1$  

$\frac{1}{4}\cdot 2^x+\frac{1}{2^x}=1$  

użyjemy podstawiania 

$t=2^x,t>0$  

wtedy 

$\frac{1}{4}t+\frac{1}{t}=1\mid \cdot 4t$  

$t^2+4=4t\mid -4t$  

$t^2-4t+4=0$  

${\left(t-2\right)}^2=0$  

$\left|t-2\right|=0$  

$t-2=0$  

$t=2$  

wracając do podstawienia mamy 

$2^x=2$  

$2^x=2^1$  

porównując wykładniki mamy 

$x=1$  

zatem 

$3^x=3^1=3>\sqrt{5}\approx 2,24$  

czyli nierówność 

$3^x>\sqrt{5}$  

jest prawdziwa.

c.n.d.