Mamy

6 - liczba kul białych

x - liczba kul czarnych, x > 0 

Ze zbioru (x+6)-elementowego chcemy wybrać podzbiór 2-elementowy, ponieważ losujemy dwie kule bez zwracania.

$\overline{\overline{\Omega }}=\left(\begin{array}{c}x+6\\ 2\end{array}\right)=\frac{\left(x+6\right)!}{2!\cdot \left(x+6-2\right)!}=\frac{\left(x+6\right)\left(x+5\right)\left(x+4\right)!}{2\cdot 1\cdot \left(x+4\right)!}=\frac{\left(x+6\right)\left(x+5\right)}{2}$  

Niech zdarzenie A oznacza, że wylosowaliśmy dwie kule białe.  

Ze zbioru 6-elementowego chcemy wybrać podzbiór 2-elementowy.

$\overline{\overline{A}}=\left(\begin{array}{c}6\\ 2\end{array}\right)=\frac{6!}{2!\cdot \left(6-2\right)!}=\frac{6\cdot 5\cdot 4!}{2\cdot 1\cdot 4!}=\frac{6\cdot 5}{2}=\frac{30}{2}=15$  

Stąd prawdopodobieństwo wynosi

$P\left(A\right)=\frac{15}{\frac{\left(x+6\right)\left(x+5\right)}{2}}=\frac{30}{\left(x+6\right)\left(x+5\right)}$  

Wiemy, że to prawdopodobieństwo jest większe od jednej trzeciej:

$\frac{30}{\left(x+6\right)\left(x+5\right)}>\frac{1}{3}\mid \cdot 3$  

$\frac{90}{\left(x+6\right)\left(x+5\right)}>1\mid -1$   

  $\frac{90}{\left(x+6\right)\left(x+5\right)}-1>0$  

$\frac{90}{\left(x+6\right)\left(x+5\right)}-\frac{\left(x+6\right)\left(x+5\right)}{\left(x+6\right)\left(x+5\right)}>0$  

$\frac{90-\left(x+6\right)\left(x+5\right)}{\left(x+6\right)\left(x+5\right)}>0$  

Liczba kul, x jest liczbą naturalną dodatnią bo opisuje pewną liczbę kul w urnie, dlatego wyrażenia (x+6) oraz (x+5) przyjmują wyłącznie wartości dodatnie, a więc mianownik jest dodatni. Rozważmy znak licznika

$90-\left(x+6\right)\left(x+5\right)>0$  

$90-\left(x^2+5x+6x+30\right)>0$   

$90-x^2-11x-30>0$  

$-x^2-11x+60>0\mid \cdot \left(-1\right)$  

$x^2+11x-60<0$  

$\Delta ={11}^2-4\cdot 1\cdot \left(-60\right)=121+240=361,v$  

$n=\frac{-11-19}{2}=-\frac{30}{2}=-15\vee n=\frac{-11+19}{2}=\frac{8}{2}=4$   

Stąd

$x\in \left(-15,4\right)$  

Rozważamy liczby naturalne dodatnie mniejsze od 4, zatem kul czarnych jest mniej niż kul białych.