Rozważmy zdarzenia

C - losowo wybrany komputer wyprodukowała firma ABC
Y - losowo wybrany komputer wyprodukowała firma XY

Z treści zadania możemy wnioskować, że

$P\left(C\right)=0,7{}_{\text{bo 70\% komputeroˊw w tej szkole pochodzi z firmy ABC}}$

$P\left(Y\right)=0,3{}_{\text{bo 30\% komputeroˊw w tej szkole pochodzi z firmy XY}}$

---

a)

Badamy prawdopodobieństwo awarii co najmniej 1 z 20 komputerów w tej szkole.

Niech

A - co najmniej 1 komputer ulegnie awarii

Mamy obliczyć P(A). Zauważmy, że łatwiej będzie nam obliczyć P(A'), a następnie odjąć to prawdopodobieństwo od 1.

Rozważmy więc

A' - żaden komputer nie ulegnie awarii

Zauważmy, że każdy z 20 komputerów w sali w losowy sposób

• może pochodzić z firmy ABC (z prawdopodobieństwem 0,7) lub XY (z prawdopodobieństwem 0,3)
• może ulec awarii lub nie (prawdopodobieństwo zależy od firmy, z której pochodzi)

Zdarzenie A' zajdzie, gdy każdy z tych 20 komputerów będzie dobry. Oznaczmy przez

D - pojedynczy komputer będzie dobry (nie ulegnie awarii)

Zdarzeniu D (dla każdego komputera z osobna) odpowiadają niebieskie gałęzie drzewka (rysunek wyżej). Zatem

$P\left(D\right)=0,7\cdot 0,99+0,3\cdot 0,98=0,987$  

Wobec tego prawdopodobieństwo tego, że żaden komputer nie ulegnie awarii, jest równe

$P\left(A{}^{\prime }\right)=\underset{\text{20 czynnikoˊw, bo 20 komputeroˊw}}{\underbrace{P\left(D\right)\cdot P\left(D\right)\cdot P\left(D\right)\cdot \dots \cdot P\left(D\right)}}={\left(P\left(D\right)\right)}^{20}={\left(0,987\right)}^{20}\approx 0,77$    

Zatem prawdopodobieństwo tego, że co najmniej 1 komputer ulegnie awarii, czyli P(A) jest równe

$P\left(A\right)=1-P\left(A{}^{\prime }\right)\underline{\underline{\approx 0,23}}$    

---

b)

Mamy obliczyć prawdopodobieństwo tego, że zepsuty komputer pochodzi z firmy XY - czyli prawdopodobieństwo tego, że komputer pochodzi z firmy XY, pod warunkiem, że to komputer popsuty.

Wobec tego, przyjmując oznaczenia jak w poprzednim podpunkcie, wyznaczamy P(Y|D').

$P\left(Y\mid D{}^{\prime }\right)=\frac{P\left(Y\cap D{}^{\prime }\right)}{P\left(D{}^{\prime }\right)}=\frac{P\left(Y\cap D{}^{\prime }\right)}{1-P\left(D\right)}=\frac{0,3\cdot 0,02}{1-0,987}=\frac{0,006}{0,013}=\underline{\underline{\frac{6}{13}}}$