W klasie a jest 20 dziewczyn i 10 chłopców, czyli łącznie 30 osób.
W klasie b jest 14 dziewczyn i 14 chłopców, czyli łącznie 28 osób.
W klasie c jest 8 dziewczyn i 16 chłopców, czyli łącznie 24 osoby.
W klasie d jest 16 dziewczyn i 14 chłopców, czyli łącznie 30 osób.

a)

Losujemy po 1 osobie z każdej z 4 klas (czyli łącznie 4 osoby). Liczba sposobów, na jakie możemy to zrobić, jest równa

$\left|\Omega \right|=30\cdot 28\cdot 24\cdot 30$  

Niech 

A - wylosowano wyłącznie chłopców

Chłopca z klasy a możemy wylosować na 10 sposobów, z klasy b - na 14 sposobów, z klasy c - na 16 sposobów, a z klasy d - na 14 sposobów. 
Wobec tego

$\left|A\right|=10\cdot 14\cdot 16\cdot 14$  

Zatem prawdopodobieństwo zdarzenia A jest równe

$P\left(A\right)=\frac{\left|A\right|}{\left|\Omega \right|}=\frac{{\cancel{10}}^1\cdot {\sout{14}}^1\cdot {\sout{\cancel{16}}}^2\cdot {\cancel{14}}^7}{{\cancel{30}}_3\cdot {\sout{28}}_2\cdot {\sout{\cancel{24}}}_3\cdot {\cancel{30}}_{15}}=\frac{{\cancel{2}}^1\cdot 7}{3\cdot {\cancel{2}}_1\cdot 3\cdot 15}=\underline{\underline{\frac{7}{135}}}$

---

b)

Losujemy 1 z 4 klas, a następnie losujemy 4 osoby z wylosowanej klasy. 

Niech 

B - wylosowano wyłącznie chłopców

Zdarzeniu B sprzyja wylosowanie dowolnej czwórki chłopców z klasy a lub wylosowanie dowolnej czwórki chłopców z klasy b lub wylosowanie dowolnej czwórki chłopców z klasy c lub wylosowanie dowolnej czwórki chłopców z klasy d.

Narysujmy pomocniczo częściowe drzewko (jedynie gałęzie odpowiadające zajściu zdarzenia B):

Zatem prawdopodobieństwo zdarzenia B jest równe

$P\left(B\right)=\frac{1}{4}\cdot \frac{\left(\begin{array}{c}10\\ 4\end{array}\right)}{\left(\begin{array}{c}30\\ 4\end{array}\right)}+\frac{1}{4}\cdot \frac{\left(\begin{array}{c}14\\ 4\end{array}\right)}{\left(\begin{array}{c}28\\ 4\end{array}\right)}+\frac{1}{4}\cdot \frac{\left(\begin{array}{c}16\\ 4\end{array}\right)}{\left(\begin{array}{c}24\\ 4\end{array}\right)}+\frac{1}{4}\cdot \frac{\left(\begin{array}{c}14\\ 4\end{array}\right)}{\left(\begin{array}{c}30\\ 4\end{array}\right)}=$

$=\frac{1}{4}\cdot \left[\frac{\left(\begin{array}{c}10\\ 4\end{array}\right)}{\left(\begin{array}{c}30\\ 4\end{array}\right)}+\frac{\left(\begin{array}{c}14\\ 4\end{array}\right)}{\left(\begin{array}{c}28\\ 4\end{array}\right)}+\frac{\left(\begin{array}{c}16\\ 4\end{array}\right)}{\left(\begin{array}{c}24\\ 4\end{array}\right)}+\frac{\left(\begin{array}{c}14\\ 4\end{array}\right)}{\left(\begin{array}{c}30\\ 4\end{array}\right)}\right]=$

  $=\frac{1}{4}\cdot \left[\frac{10!}{4!\cdot 6!}\cdot \frac{4!\cdot 26!}{30!}+\frac{14!}{4!\cdot 10!}\cdot \frac{4!\cdot 24!}{28!}+\frac{16!}{4!\cdot 12!}\cdot \frac{4!\cdot 20!}{24!}+\frac{14!}{4!\cdot 10!}\cdot \frac{4!\cdot 26!}{30!}\right]=$

$=\frac{1}{4}\cdot \left[\frac{{\sout{7}}^1\cdot 8\cdot {\sout{\cancel{9}}}^1\cdot {\cancel{10}}^1}{{\sout{\cancel{27}}}_3\cdot {\sout{28}}_4\cdot 29\cdot {\cancel{30}}_3}+\frac{11\cdot {\sout{12}}^4\cdot {\sout{\cancel{13}}}^1\cdot {\cancel{14}}^1}{25\cdot {\sout{\cancel{26}}}_2\cdot {\sout{27}}_9\cdot {\cancel{28}}_2}+\frac{13\cdot {\sout{14}}^2\cdot {\sout{\cancel{15}}}^5\cdot {\cancel{16}}^8}{{\sout{21}}_3\cdot {\cancel{22}}_{11}\cdot 23\cdot {\sout{\cancel{24}}}_8}+\frac{11\cdot {\cancel{12}}^2\cdot 13\cdot {\sout{14}}^1}{27\cdot {\sout{28}}_2\cdot 29\cdot {\cancel{30}}_5}\right]=$  

$=\frac{1}{4}\cdot \left[\frac{{\cancel{8}}^2}{3\cdot {\cancel{4}}_1\cdot 29\cdot 3}+\frac{11\cdot {\cancel{4}}^1}{25\cdot {\cancel{2}}_1\cdot 9\cdot {\cancel{2}}_1}+\frac{13\cdot 2\cdot 5\cdot {\cancel{8}}^1}{3\cdot 11\cdot 23\cdot {\cancel{8}}_1}+\frac{11\cdot {\cancel{2}}^1\cdot 13}{27\cdot {\cancel{2}}_1\cdot 29\cdot 5}\right]=$

$=\frac{1}{4}\cdot \left[\frac{2}{3\cdot 29\cdot 3}+\frac{11}{25\cdot 9}+\frac{130}{3\cdot 11\cdot 23}+\frac{143}{27\cdot 29\cdot 5}\right]=$

$=\frac{1}{4}\cdot [\frac{2\cdot 3\cdot 25\cdot 11\cdot 23}{9\cdot 29\cdot 3\cdot 25\cdot 11\cdot 23}+\frac{11\cdot 3\cdot 29\cdot 11\cdot 23}{25\cdot 9\cdot 3\cdot 29\cdot 11\cdot 23}+$

$+\frac{130\cdot 9\cdot 29\cdot 25}{3\cdot 11\cdot 23\cdot 9\cdot 29\cdot 25}+\frac{143\cdot 5\cdot 11\cdot 23}{27\cdot 29\cdot 5\cdot 5\cdot 11\cdot 23}]=$  

$=\frac{1}{4}\cdot \left[37950+242121+848250+180895\right]=\frac{1}{4}\cdot \frac{1309216}{4952475}=\frac{1}{4}\cdot \frac{4\cdot 327304}{4952475}=$  

$=\underline{\underline{\frac{327304}{4952475}}}$  

---

c)

W klasach a, b, c i d jest łącznie następująca liczba osób

$30+28+24+30=112$

 Losujemy 4 z tych 112 osób. Liczba sposobów, na jakie możemy to zrobić, jest równa

$\left|\Omega \right|=\left(\begin{array}{c}112\\ 4\end{array}\right)=\frac{112!}{4!\cdot 108!}=\frac{{\cancel{108!}}^1\cdot 109\cdot {\sout{110}}^{55}\cdot {\cancel{111}}^{37}\cdot {\sout{\cancel{112}}}^{28}}{1\cdot {\sout{2}}_1\cdot {\cancel{3}}_1\cdot {\sout{\cancel{4}}}_1\cdot {\cancel{108!}}_1}=109\cdot 55\cdot 37\cdot 28=6210820$  

Niech 

C - wylosowano wyłącznie chłopców

W klasach a, b, c i d jest łącznie następująca liczba chłopców

$10+14+16+14=54$  

Wylosowanie każdych 4 z tych 54 chłopców sprzyja zajściu zdarzenia C. Zatem

$\left|C\right|=\left(\begin{array}{c}54\\ 4\end{array}\right)=\frac{54!}{4!\cdot 50!}=\frac{{\cancel{50!}}^1\cdot {\sout{\cancel{51}}}^{17}\cdot {\sout{52}}^{13}\cdot 53\cdot {\cancel{54}}^{27}}{1\cdot {\cancel{2}}_1\cdot {\sout{\cancel{3}}}_1\cdot {\sout{4}}_1\cdot {\cancel{49!}}_1}=17\cdot 13\cdot 53\cdot 27=316251$  

Zatem prawdopodobieństwo zdarzenia C jest równe

$P\left(C\right)=\frac{\left|C\right|}{\left|\Omega \right|}=\underline{\underline{\frac{316251}{6210820}}}$