Założenie:

Równanie

$x^3+p{x}^2+qx+r=0$

ma trzy różne pierwiastki.

---

Teza:

$3p^2-q>0$  

---

Dowód:

Rozważmy funkcję wielomianową

$f\left(x\right)=x^3+p{x}^2+qx+r,x\in \mathbb{R}$

Skoro równanie  

$x^3+p{x}^2+qx+r=0$

ma trzy różne pierwiastki, to funkcja f ma trzy różne miejsca zerowe. Wobec tego ma też jedno maksimum i jedno minimum.

Zatem dla dwóch różnych argumentów funkcji f spełniony jest warunek konieczny istnienia ekstremum.