1.

Badamy, ile wyrazów dodatnich ma ciąg dany wzorem:

$a_n=\frac{16-2n^2}{3},n\in {\mathbb{N}}_{+}$  

Rozwiązujemy nierówność:

$\frac{16-2n^2}{3}>0$  

$16-2n^2>0$  

$-2\left(-8+n^2\right)>0$

$-2\left(n^2-8\right)>0$

$-2\left(n-\sqrt{8}\right)\left(n+\sqrt{8}\right)>0$

Szkicujemy przybliżony wykres funkcji kwadratowej y = -2(n - √8)(n + √8). 

(Miejscami zerowymi tej funkcji są liczby √8 i - √8. Ramiona paraboli skierowane są w dół, bo współczynnik przy n² jest ujemny.)

$n\in \left(\underset{{}_{\approx -2,83}}{-\sqrt{8}};\underset{{}_{\approx -2,83}}{\sqrt{8}}\right)$  

Uwzględniając założenie, że

$n\in {\mathbb{N}}_{+}$  

otrzymujemy:

$n\in \left\{1,2\right\}$  

Zatem

$a_1>0\text{i}{a}_2>0$

więc ciąg (a_n) ma dokładnie dwa wyrazy dodatnie.

Zdanie 1. jest PRAWDZIWE.

---

2.

Ciąg (a_n) jest rosnący wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby n ∈ ℕ₊ zachodzi warunek:

$a_{n+1}>a_n$  

Zauważmy, że dla n ∈ ℕ₊ prawdziwa jest równość:

${\left(n+1\right)}^2>n^2$

Zatem

$-{\left(n+1\right)}^2<-n^2$

$16-{\left(n+1\right)}^2<16-n^2$

$\stackrel{=a_{n+1}}{\overbrace{\frac{16-2{\left(n+1\right)}^2}{3}}}>\stackrel{=a_n}{\overbrace{\frac{16-2n^2}{3}}}$  

Zatem

$a_{n+1}<a_n\text{dla}n\in {\mathbb{N}}_{+}$  

więc ciąg (a_n) jest malejący, a nie rosnący.

Zdanie 2. jest FAŁSZYWE.