a)

Wyznaczamy funkcję P, opisującą dzienny przychód firmy w zależności od ceny c [zł] jednej sztuki towaru. 

Dzienny przychód firmy obliczymy, mnożąc liczbę sprzedanych dziennie sztuk towaru przez cenę za sztukę. Zatem 

$P\left(c\right)=L\left(c\right)\cdot c=\left(210c-2c^2\right)\cdot c$

czyli

$\underline{P\left(c\right)=-2c^3+210c^2}$  

Określamy jej dziedzinę.

Zgodnie z treścią zadania, cena za sztukę waha się między 50 zł a 100 zł, zatem

$\underline{c\in \left(50;100\right)}$   

Szukamy c, dla którego funkcja P przyjmuje największą wartość.

Funkcja P jest różniczkowalna w przedziale (50; 100).

• Wyznaczamy jej pochodną:

$P{}^{\prime }\left(c\right)=-6c^2+420c,c\in \left(50;100\right)$   

• Szukamy c ∈ (50; 100) "podejrzanych" o występowanie ekstremów:

$P{}^{\prime }\left(c\right)=0\iff -6c^2+420c=0$

$-6c\left(c-70\right)=0$

$\underset{\text{odrzucamy}}{c=0\notin \left(50;100\right)}\vee \underline{\underline{c=70}}\in \left(50;100\right)$     

• Porównujemy wartość funkcji P w "podejrzanym" punkcie z granicami na krańcach jej dziedziny:

$\diamond \underset{c\to {50}^{+}}{\lim }P\left(c\right)=\underset{c\to {50}^{+}}{\lim }\left(-2c^3+210c^2\right)=\left[-2\cdot {50}^3+210\cdot {50}^2\right]=275000$

$\diamond P\left(70\right)=-2\cdot {70}^3+210\cdot {70}^2=343000$    

$\diamond \underset{c\to {100}^{-}}{\lim }P\left(c\right)=\underset{c\to {100}^{-}}{\lim }\left(-2c^3+210c^2\right)=\left[-2\cdot {100}^3+210\cdot {100}^2\right]=100000$  

Otrzymaliśmy, że

$P\left(70\right)>\underset{c\to {50}^{+}}{\lim }P\left(c\right)\text{oraz}P\left(70\right)>\underset{c\to {100}^{-}}{\lim }P\left(c\right)$  

zatem funkcja P osiąga wartość największą dla c = 70.

Możemy więc wnioskować, że dzienny przychód firmy jest największy, jeśli cena jednej sztuki towaru wynosi:

$\underline{\underline{c=70\left[\text{zł}\right]}}$

---

b)

Wyznaczamy funkcję D, opisującą miesięczny dochód firmy w zależności od liczby sztuk t wyprodukowanego miesięcznie towaru. 

Miesięczny dochód D [zł] firmy obliczymy, określając jej miesięczny przychód P [zł] i pomniejszając go o miesięczny koszt K [zł] - przy czym wszystkie te wielkości zależą od liczby t sztuk wyprodukowanego miesięcznie towaru. Otrzymujemy więc następującą funkcję D zmiennej t: 

$D\left(t\right)=P\left(t\right)-K\left(t\right)$  

Miesięczny przychód P [zł] firmy obliczymy, mnożąc liczbę t wyprodukowanych miesięcznie sztuk towaru przez cenę C [zł], jaką firma uzyskuje za sprzedanie jednej sztuki towaru. Zatem 

$P\left(t\right)=t\cdot C\left(t\right)=t\cdot \left(500-0,02t\right)=500t-0,02t^2$

Z treści zadania wiemy, że

$K\left(t\right)=0,001t^3-0,5t^2+500t$  

Otrzymujemy więc, że

$D\left(t\right)=\underset{P\left(t\right)}{\underbrace{500t-0,02t^2}}-\underset{K\left(t\right)}{\underbrace{\left(0,001t^3-0,5t^2+500t\right)}}$

Stąd

$\underline{D\left(t\right)=-0,001t^3+0,48t^2}$  

Określamy dziedzinę funkcji D.

Zgodnie z treścią zadania, miesięcznie firma produkuje co najwyżej 500 sztuk towaru, zatem

$\underline{t\in \left(0;500\right)}$

_{Uwaga: Choć w kontekście liczby wyprodukowanych sztuk sensowne wydaje się rozważanie wyłącznie t będących liczbami naturalnymi, to dla ułatwienia poszukiwań t, dla której dochód firmy jest największy, rozważamy nieco szerszą dziedzinę funkcji D - po to, by dało się wykorzystać do poszukiwań "narzędzia" działające jedynie dla funkcji ciągłych i różniczkowalnych, określonych w pewnym przedziale.}

Szukamy t, dla którego funkcja D przyjmuje największą wartość.

Funkcja D jest różniczkowalna w przedziale (0; 500).

• Wyznaczamy jej pochodną:

$D\left(t\right)=-0,003t^2+0,96t,t\in \left(0;500\right)$   

• Szukamy t ∈ (0; 500) "podejrzanych" o występowanie ekstremów:

$D{}^{\prime }\left(t\right)=0\iff -0,003t^2+0,96t=0$

$-3t\left(0,001t-0,32\right)=0$

$\underset{\text{odrzucamy}}{t=0\notin \left(0;500\right)}\vee \underline{\underline{t=320}}\in \left(0;500\right)$     

^{Ponadto t = 320 jest liczbą naturalną, a więc sensowną w kontekście rozważanej liczby sztuk towaru.}

• Porównujemy wartość funkcji D w "podejrzanym" punkcie z granicami na krańcach jej dziedziny:

$\diamond \underset{t\to 0^{+}}{\lim }D\left(t\right)=\underset{t\to 0^{+}}{\lim }\left(-0,001t^3+0,48t^2\right)=\left[-0,001\cdot 0^3+0,48\cdot 0^2\right]=0$

$\diamond D\left(320\right)=-0,001\cdot {320}^3+0,48\cdot {320}^2=16384$    

$\diamond \underset{t\to {500}^{-}}{\lim }D\left(t\right)=\underset{t\to {500}^{-}}{\lim }\left(-0,001t^3+0,48t^2\right)=\left[-0,001\cdot {500}^3+0,48\cdot {500}^2\right]=-5000$  

Otrzymaliśmy, że

$D\left(320\right)>\underset{t\to 0^{+}}{\lim }D\left(t\right)\text{oraz}D\left(320\right)>\underset{t\to {500}^{-}}{\lim }D\left(t\right)$  

zatem funkcja D osiąga wartość największą dla t = 320.

Możemy więc wnioskować, że miesięczny dochód firmy jest największy, jeśli miesięczna liczba wyprodukowanych sztuk towaru jest równa:

$\underline{\underline{t=320}}$