Z drutu o długości...- Zadanie 98: Matematyka z plusem 4. Zakres podstawowy i rozszerzony

Rozwiązanie

Wykonajmy rysunek i wprowadźmy oznaczenia.

Ustalmy, że a i b wyrażone są w cm.

1) Wyrażamy pole P figury w zależności od długości a i b.

$P_{P prostok ą ta} = a b +_{P p \overset{o}{ˊ} ł kola} \frac{1}{2} \cdot π (\frac{a}{2})^{2} = a b + \frac{π}{8} a^{2}$

Przedstawimy tę zależność jako funkcję P jednej zmiennej a.

2) Szukamy zależności między zmiennymi a i b.

Wiemy, że

$O b w = 10 [cm]$

Zatem

$a + 2 b + \frac{1}{2} \cdot 2 π \frac{a}{2} = 10$

Czyli

$2 b = 10 - a - \frac{π}{2} a$

Stąd

$b = 5 - \frac{1}{2} a - \frac{π}{4} a$

3) Wyznaczamy funkcję P opisującą pole figury w zależności od a:

$P (a) = a \cdot (5 - \frac{1}{2} a - \frac{π}{4} a) + \frac{π}{8} a^{2} = 5 a - \frac{1}{2} a^{2} - \frac{π}{4} a^{2} + \frac{π}{8} a^{2} = 5 a - \frac{1}{2} a^{2} - \frac{π}{8} a^{2} =$

$= (- \frac{4}{8} - \frac{π}{8}) a^{2} + 5 a = - \frac{4 + π}{8} a^{2} + 5 a$

Czyli

$\underline{P (a) = - \frac{4 + π}{8} a^{2} + 5 a}$

4) Określamy dziedzinę funkcji P.

Jako długości odcinków:

${a > 0 b > 0 \Leftrightarrow {a > 0 5 - \frac{1}{2} a - \frac{π}{4} a > 0 \Leftrightarrow {a > 0 a < \frac{20}{2 + π} \Leftrightarrow a \in (0; \frac{20}{2 + π})$

$- \frac{1}{2} a - \frac{π}{4} a > - 5$

$(\frac{1}{2} + \frac{π}{4}) a < 5$

$\frac{2 + π}{4} a < 5$

$a < 5 \cdot \frac{4}{2 + π}$

$a < \frac{20}{2 + π}$

Zatem

$\underline{D_{P} = (0; \frac{20}{2 + π})}$

5) Szukamy a, dla którego funkcja P przyjmuje największą wartość.

Zauważmy, że funkcja P jest funkcją kwadratową (określoną dla a ∈ D_P) o ujemnym współczynniku przy najwyższej potędze zmiennej, więc jeżeli

$a_{w} \in D_{P}^{*}$

to funkcja P osiąga największą wartość dla

$a = a_{w}$

$_{*}_{Przez a_{w} rozumiemy pierwsz ą wsp \overset{o}{ˊ} ł rz ę dn ą wierzcho ł ka paraboli y = - \frac{4 + π}{8} a^{2} + 5 a, a \in R}$

Sprawdzamy, czy a_w ∈ D_P.

$a_{w} = \frac{- 5}{2 \cdot ( - \frac{4 + π}{8} )} = \frac{5}{\frac{4 + π}{4}} = \frac{20}{4 + π}$

I skoro

$0 < \frac{20}{4 + π} < \frac{20}{2 + π}$

$a_{w} \in D_{P}$

Oznacza to, że

$P_{m a x} = P (a_{w}) = P (\frac{20}{4 + π})$

6) Możemy więc wnioskować, że pole figury jest największe, gdy

$a = \underline{\underline{\frac{20}{4 + π} \approx 2, 8 [cm]}}$

i wynosi wówczas

$P (\frac{20}{4 + π}) = - \frac{4 + π}{8} \cdot (\frac{20}{4 + π})^{2} + 5 \cdot \frac{20}{4 + π} = \frac{- 1 \cdot 4 + π \cdot 20 ^{5} \cdot 20}{_{2} 8 \cdot 4 + π \cdot ( 4 + π )} + \frac{100}{4 + π} =$

$= - \frac{100}{2 ( 4 + π )} + \frac{100}{4 + π} = - \frac{50}{4 + π} + \frac{100}{4 + π} = \underline{\underline{\frac{50}{4 + π} \approx 7 [cm^{2}]}}$