a)

Aby znaleźć największy wyraz ciągu

$a_n=\frac{n}{n^2+100},\text{gdzie}n\in {\mathbb{N}}_{+}$

rozważymy funkcję

$f\left(x\right)=\frac{x}{x^2+100},\text{gdzie}x\in \mathbb{R}$

Zauważmy, że

$f\left(n\right)=a_n\text{dla}n\in {\mathbb{N}}_{+}$  

Wobec tego, badając przedziały monotoniczności i ekstrema funkcji f (o ile istnieją), będziemy w stanie wyznaczyć największy wyraz ciągu (a_n).

Zauważmy, że jeśli funkcja f osiąga ekstremum dla argumentów naturalnych dodatnich, to wówczas jako największy wyraz ciągu (a_n) wystarczy wybrać największe z tych ekstremów.

Wyznaczamy pochodną funkcji f

$f{}^{\prime }\left(x\right)={\left(\frac{x}{x^2+100}\right)}^{{}^{\prime }}=\frac{\left(x\right){}^{\prime }\cdot \left(x^2+100\right)-x\cdot \left(x^2+100\right){}^{\prime }}{{\left(x^2+100\right)}^2}=\frac{1\cdot \left(x^2+100\right)-x\cdot 2x}{{\left(x^2+100\right)}^2}=$

$=\frac{-x^2+100}{{\left(x^2+100\right)}^2}$  

$D_{f{}^{\prime }}=D_f=\mathbb{R}$

Wyznaczamy miejsca zerowe pochodnej

$f{}^{\prime }\left(x\right)=0\iff \frac{-x^2+100}{{\left(x^2+100\right)}^2}=0\iff -x^2+100=0$  

$x^2=100$    

$x=10\vee x=-10$  

W kontekście poszukiwań największego wyrazu ciągu, interesują nas tylko te miejsca zerowe pochodnej funkcji f, które są liczbami naturalnymi dodatnimi. Wobec tego sprawdzamy jedynie, czy funkcja f osiąga ekstremum
w punkcie 10.

Mianownik pochodnej jest zawsze dodatni, zatem znak pochodnej jest taki sam, jak znak jej licznika. Szkicujemy przybliżony wykres funkcji

$y=-x^2+100\text{dla}x\in D_{f{}^{\prime }}$   

Korzystając z rysunku możemy wnioskować, że skoro pochodna jest dodatnia w lewostronnym sąsiedztwie punktu 10 i ujemna w jego prawostronnym sąsiedztwie, to funkcja f osiąga w punkcie 10 maksimum lokalne równe

$f_{\max }\left(10\right)=\frac{10}{{\left({10}^2+100\right)}^2}=\frac{10}{200}=\frac{1}{20}$  

Wobec tego ostatecznie otrzymujemy, że największym wyrazem ciągu (a_n) jest wyraz

$\underline{\underline{a_{10}=\frac{1}{20}}}$  

---

b)

Aby znaleźć największy wyraz ciągu

$a_n=-n^2+39n-100,\text{gdzie}n\in {\mathbb{N}}_{+}$

rozważymy funkcję

$f\left(x\right)=-x^2+39x-100,\text{gdzie}x\in \mathbb{R}$

Zauważmy, że

$f\left(n\right)=a_n\text{dla}n\in {\mathbb{N}}_{+}$  

Wobec tego badając przedziały monotoniczności i ekstrema funkcji f (o ile istnieją), będziemy w stanie wyznaczyć największy wyraz ciągu (a_n).

Wyznaczamy pochodną funkcji f

$f{}^{\prime }\left(x\right)={\left(-x^2+39x-100\right)}^{{}^{\prime }}=-2x+39$

$D_{f{}^{\prime }}=D_f=\mathbb{R}$

Wyznaczamy miejsca zerowe pochodnej

$f{}^{\prime }\left(x\right)=0\iff -2x+39=0$  

$2x=39$    

$x=19,5$  

Badając znak pochodnej, sprawdzamy, czy w punkcie 19,5 funkcja f osiąga ekstremum.

$f{}^{\prime }\left(x\right)>0\iff -2x+39>0\iff x<19,5$   

$f{}^{\prime }\left(x\right)<0\iff -2x+39<0\iff x>19,5$

Zatem możemy wnioskować, że funkcja f osiąga maksimum lokalne właściwe w punkcie 19,5. Zauważmy, że

$19,5\notin \mathbb{N}$

więc tym razem maksimum funkcji f nie jest tożsame z największym wyrazem ciągu (a_n). Skoro jednak funkcja f jest

• rosnąca dla x < 19,5
• malejąca dla x > 19,5 

to wyrazu tego należy jednak szukać "blisko" f_max.

Wyznaczymy więc a₁₉ i a₂₀, i wybierzemy większy z nich.

$a_{19}=-{19}^2+39\cdot 19-100=280$

$a_{20}=-{20}^2+39\cdot 20-100=280$   

Wobec tego ostatecznie otrzymujemy, że największymi wyrazami ciągu (a_n) są wyrazy

$\underline{\underline{a_{19}=280}}\text{i}\underline{\underline{a_{20}=280}}$  

---

c)

Aby znaleźć największy wyraz ciągu

$a_n=\frac{n^3+100}{-n},\text{gdzie}n\in {\mathbb{N}}_{+}$

rozważymy funkcję

$f\left(x\right)=\frac{x^3+100}{-x},\text{gdzie}x\in \mathbb{R}$

Zauważmy, że

$f\left(n\right)=a_n\text{dla}n\in {\mathbb{N}}_{+}$  

Wobec tego badając przedziały monotoniczności i ekstrema funkcji f, będziemy w stanie wyznaczyć największy wyraz ciągu (a_n).

Wyznaczamy pochodną funkcji f

$f{}^{\prime }\left(x\right)={\left(\frac{x^3+100}{-x}\right)}^{{}^{\prime }}=\frac{\left(x^3+100\right){}^{\prime }\cdot \left(-x\right)-\left(x^3+100\right)\cdot \left(-x\right){}^{\prime }}{{\left(-x\right)}^2}=$

$=\frac{3x^2\cdot \left(-x\right)-\left(x^3+100\right)\cdot \left(-1\right)}{x^2}=\frac{-3x^3+x^3+100}{x^2}=\frac{-2x^3+100}{x^2}$  

$D_{f{}^{\prime }}=D_f=\mathbb{R}$

Wyznaczamy miejsca zerowe pochodnej

$f{}^{\prime }\left(x\right)=0\iff \frac{-2x^3+100}{x^2}=0\iff -2x^3+100=0$  

$2x^3=100$    

$x^3=50$

$x=\sqrt[3]{50}$    

Badając znak pochodnej, sprawdzamy, czy w punkcie ³√50 funkcja f osiąga ekstremum.

$f{}^{\prime }\left(x\right)>0\iff \frac{-2x^3+100}{x^2}>0\iff -2x^3+100>0\iff x^3<50\iff x<\sqrt[3]{50}$   

$f{}^{\prime }\left(x\right)<0\iff x>\sqrt[3]{50}$

Zatem możemy wnioskować, że funkcja f osiąga maksimum lokalne właściwe w punkcie ³√50. Zauważmy, że

$\sqrt[3]{50}\notin \mathbb{N}$

więc maksimum funkcji f nie jest tożsame z największym wyrazem ciągu (a_n). Skoro jednak funkcja f jest

• rosnąca dla x < ³√50
• malejąca dla x > ³√50 

to wyrazu tego należy jednak szukać "blisko" f_max.

Zauważmy, że

$\underset{=3}{\sqrt[3]{27}}<\sqrt[3]{50}<\underset{=4}{\sqrt[4]{64}}$  

Wyznaczymy więc a₃ i a₄, i wybierzemy większy z nich.

$a_3=\frac{3^3+100}{-3}=-\frac{127}{3}=-42\frac{1}{3}$

$a_4=\frac{4^3+100}{-4}=-\frac{164}{4}=-41$   

Wobec tego ostatecznie otrzymujemy, że największym wyrazem ciągu (a_n) jest wyraz

$\underline{\underline{a_4=-41}}$