Twierdzenie   Jeżeli funkcja f ma pochodną w przedziale (a, b) oraz dla każdej liczby x z tego przedziału f'(x)>0,   to funkcja f jest rosnąca w przedziale (a, b).   Jeżeli funkcja f ma pochodną w przedziale (a, b) oraz dla każdej liczby x z tego przedziału f'(x)<0,   to funkcja f jest malejąca w przedziale (a, b).   Uwaga   Jeśli funkcja f jest ciągła w przedziale <a, b> oraz: funkcja f jest rosnąca w przedziale (a, b), to jest również rosnąca w przedziale <a, b>,  funkcja f jest malejąca w przedziale (a, b), to jest również malejąca w przedziale <a, b>.

Zbadamy, dla jakich wartości parametrów a, b, c, d funkcja

$f\left(x\right)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d,\text{gdzie}x\in \mathbb{R}$  

jest rosnąca.

Rozważmy przypadki:

1^₀   a ≠ 0

Wtedy

$f\left(x\right)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d,\text{gdzie}x\in \mathbb{R}$  

Wobec tego

$f{}^{\prime }\left(x\right)={\left(a{x}^3+b{x}^2+cx+d\right)}^{{}^{\prime }}=3a{x}^2+2bx+c,\text{gdzie}x\in \mathbb{R}$

czyli pochodna jest funkcją kwadratową. Wówczas

$f\text{- rosnąca}\iff \left(f{}^{\prime }\left(x\right)>0\text{dla}x\in \mathbb{R}\vee f{}^{\prime }\left(x\right)>0\text{dla}x\in \mathbb{R}\backslash \left\{x_0\right\}\right)\iff$  

$\iff \left(a>0\wedge \Delta \le 0\right)\iff \left(a>0\wedge b^2-4ac\le 0\right)\iff \underline{a>0\wedge b^2\le 4ac}$  

gdzie przez x₀ rozumiemy miejsce zerowe pochodnej.

2^₀   a = 0  i  b ≠ 0

Wtedy

$f\left(x\right)=b{x}^2+cx+d,\text{gdzie}x\in \mathbb{R}$  

Wobec tego

$f{}^{\prime }\left(x\right)={\left(b{x}^2+cx+d\right)}^{{}^{\prime }}=2bx+c,\text{gdzie}x\in \mathbb{R}$

czyli pochodna jest funkcją liniową. Wówczas

$f\text{- rosnąca}\iff f{}^{\prime }\left(x\right)>0\text{dla}x\in \mathbb{R}\iff \text{(}\underset{\begin{array}{c}{}_{\text{sprzecznosˊcˊ}}\\ {}^{\text{z załoz˙eniem!}}\end{array}}{b=0}\wedge c>0\text{)}$  

3^₀   a = b = 0  i  c ≠ 0

Wtedy

$f\left(x\right)=cx+d,\text{gdzie}x\in \mathbb{R}$  

Wobec tego

$f{}^{\prime }\left(x\right)={\left(cx+d\right)}^{{}^{\prime }}=c,\text{gdzie}x\in \mathbb{R}$

czyli pochodna jest funkcją liniową stałą. Wówczas

$f\text{- rosnąca}\iff f{}^{\prime }\left(x\right)>0\text{dla}x\in \mathbb{R}\iff \underline{c>0}$  

4^₀   a = b = c = 0  i  d ≠ 0

Wtedy

$f\left(x\right)=d\text{gdzie}x\in \mathbb{R}$

jest funkcją stałą - a zatem nie może być funkcją rosnącą.

Zatem ostatecznie otrzymujemy, że funkcja f jest rosnąca, gdy

• $a>0\wedge b^2\le 4ac$  
  
  lub
  
  
• $a=0=b\wedge c>0$  

---

Uwaga: Odpowiedź podana w zbiorze zadań jest błędna.