a)

Mamy obliczyć granicę 

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{2}{x^4}$  

Funkcja, której granicę w 0 liczymy, czyli

$f\left(x\right)=\frac{2}{x^4}$

jest określona dla wszystkich x, dla których mianownik ułamka się nie zeruje, więc mamy następujące założenie:

$x\ne 0$  

Zauważmy, że dla x≠0 mamy

$x^4>0$  

Zatem jeśli x dąży do 0, to mianownik ułamka dąży do zera poprzez wartości dodatnie. Otrzymujemy więc

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{2}{x^4}=\left[\frac{2}{0^{+}}\right]=+\infty$  

---

b)

Mamy obliczyć granicę 

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{-9}{\left|x\right|}$  

Założenie:

$x\ne 0$  

Zauważmy, że dla x≠0 mamy

$\left|x\right|>0$  

Zatem jeśli x dąży do 0, to mianownik ułamka dąży do zera poprzez wartości dodatnie. Otrzymujemy więc

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{-9}{\left|x\right|}=\left[\frac{-9}{0^{+}}\right]=-\infty$  

---

c)

Mamy obliczyć granicę 

$\underset{x\to 1}{\lim }\frac{-5}{{\left(x-1\right)}^2}$  

Założenie:

$x\ne 1$  

Zauważmy, że dla x≠1 mamy

${\left(x-1\right)}^2>0$  

Zatem jeśli x dąży do 1, to mianownik ułamka dąży do zera poprzez wartości dodatnie. Otrzymujemy więc

$\underset{x\to 1}{\lim }\frac{-5}{{\left(x-1\right)}^2}=\left[\frac{-5}{0^{+}}\right]=-\infty$

---

d)

Mamy obliczyć granicę 

$\underset{x\to 4}{\lim }\frac{7}{\left|x-4\right|}$  

Założenie:

$x\ne 4$  

Zauważmy, że dla x≠4 mamy

$\left|x-4\right|>0$  

Zatem jeśli x dąży do 4, to mianownik ułamka dąży do zera poprzez wartości dodatnie. Otrzymujemy więc

$\underset{x\to 4}{\lim }\frac{7}{\left|x-4\right|}=\left[\frac{7}{0^{+}}\right]=+\infty$

---

e)

Mamy obliczyć granicę 

$\underset{x\to -3}{\lim }\frac{4-x}{{\left(x+3\right)}^8}$  

Założenie:

$x\ne -3$  

Zauważmy, że dla x≠-3 mamy

${\left(x+3\right)}^8>0$  

Zatem jeśli x dąży do -3, to mianownik ułamka dąży do zera poprzez wartości dodatnie. Otrzymujemy więc

$\underset{x\to -3}{\lim }\frac{4-x}{{\left(x+3\right)}^8}=\left[\frac{7}{0^{+}}\right]=+\infty$

---

f)

Mamy obliczyć granicę 

$\underset{x\to -5}{\lim }\frac{2x+3}{\left|x+5\right|}$  

Założenie:

$x\ne -5$  

Zauważmy, że dla x≠-5 mamy

$\left|x+5\right|>0$  

Zatem jeśli x dąży do -5, to mianownik ułamka dąży do zera poprzez wartości dodatnie. Otrzymujemy więc

$\underset{x\to -5}{\lim }\frac{2x+3}{\left|x+5\right|}=\left[\frac{-7}{0^{+}}\right]=-\infty$