Twierdzenie   Jeżeli a∈ℝ i n∈ℕ, to $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)\text{i}\underset{x\to +\infty }{\lim }g\left(x\right)$      to wówczas $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{a}{x^n}=0$     $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{a}{x^n}=0$      Twierdzenie   Jeżeli istnieją granice właściwe  $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)\text{i}\underset{x\to +\infty }{\lim }g\left(x\right)$      to wówczas $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left[f\left(x\right)+g\left(x\right)\right]=\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)+\underset{x\to +\infty }{\lim }g\left(x\right)$     $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left[f\left(x\right)-g\left(x\right)\right]=\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)-\underset{x\to +\infty }{\lim }g\left(x\right)$   $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left[a\cdot f\left(x\right)\right]=a\cdot \underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right),\text{gdzie}a\in \mathbb{R}$   $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left[f\left(x\right)\cdot g\left(x\right)\right]=\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)\cdot \underset{x\to +\infty }{\lim }g\left(x\right)$   $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left[\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}\right]=\frac{\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)}{\underset{x\to +\infty }{\lim }g\left(x\right)},\text{gdzie}\underset{x\to +\infty }{\lim }g\left(x\right)\ne 0$      Analogiczne twierdzenia formułujemy również dla granic w -∞.

a)

Zauważmy, że

$\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{3-4x-2x^2}{\left(3x-1\right)\left(x+4\right)}=\left[\frac{\infty }{\infty }\right]\text{- symbol nieoznaczony!}$  

Nie jesteśmy więc w stanie od razu podać granicy tej funkcji. Aby to zrobić, musimy przekształcić ułamek

$\frac{3-4x-2x^2}{\left(3x-1\right)\left(x+4\right)}$  

po to, by przy obliczaniu granicy możliwe było skorzystanie z odpowiednich twierdzeń (patrz: ramka).

Przekształcamy więc ułamek, dzieląc jego licznik i mianownik przez x w najwyższej potędze, w jakiej występuje w mianowniku ułamka. Zauważmy, że aby stwierdzić, przez co będziemy skracać ułamek, nie musimy wymnażać nawiasów w mianowniku - wystarczy z każdego z nich wyłączyć x w najwyższej potędze, w jakiej w nim występuje:

$\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{3-4x-2x^2}{\left(3x-1\right)\left(x+4\right)}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{3-4x-2x^2}{x\left(3-\frac{1}{x}\right)\cdot x\left(1+\frac{4}{x}\right)}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{3-4x-2x^2}{x^2\left(3-\frac{1}{x}\right)\left(1+\frac{4}{x}\right)}=\dots$