Niech $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=a,\text{gdzie}a\in \mathbb{R}\text{oraz}\underset{x\to +\infty }{\lim }g\left(x\right)=+\infty$      Wówczas $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left[f\left(x\right)+g\left(x\right)\right]=a+\left(+\infty \right)=+\infty$   $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left[f\left(x\right)-g\left(x\right)\right]=a-\left(+\infty \right)=-\infty$     $\text{jesˊli}a>0\text{to}\underset{x\to +\infty }{\lim }\left[f\left(x\right)\cdot g\left(x\right)\right]=a\cdot \left(+\infty \right)=+\infty$     $\text{jesˊli}a<0\text{to}\underset{x\to +\infty }{\lim }\left[f\left(x\right)\cdot g\left(x\right)\right]=a\cdot \left(+\infty \right)=-\infty$   Analogiczne własności mają również granice w -∞.    Niech $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=a,\text{gdzie}a\in \mathbb{R}\text{oraz}\underset{x\to +\infty }{\lim }g\left(x\right)=-\infty$      Wówczas $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left[f\left(x\right)+g\left(x\right)\right]=a+\left(-\infty \right)=-\infty$   $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left[f\left(x\right)-g\left(x\right)\right]=a-\left(-\infty \right)=+\infty$     $\text{jesˊli}a>0\text{to}\underset{x\to +\infty }{\lim }\left[f\left(x\right)\cdot g\left(x\right)\right]=a\cdot \left(-\infty \right)=-\infty$     $\text{jesˊli}a<0\text{to}\underset{x\to +\infty }{\lim }\left[f\left(x\right)\cdot g\left(x\right)\right]=a\cdot \left(-\infty \right)=+\infty$     Analogiczne własności mają również granice w -∞.    Jeżeli   $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=+\infty \text{oraz}\underset{x\to +\infty }{\lim }g\left(x\right)=+\infty$      to wówczas $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left[f\left(x\right)\cdot g\left(x\right)\right]=\left(+\infty \right)\cdot \left(+\infty \right)=+\infty$     Analogiczne własności mają również granice w -∞.     Jeżeli   $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=+\infty \text{oraz}\underset{x\to +\infty }{\lim }g\left(x\right)=-\infty$      to wówczas $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left[f\left(x\right)\cdot g\left(x\right)\right]=\left(+\infty \right)\cdot \left(-\infty \right)=-\infty$     Analogiczne własności mają również granice w -∞.

a)

Wyłączamy przed nawias x w najwyższej potędze:

$\underset{x\to -\infty }{\lim }{x}^3\left(2x^4-x\right)=\underset{x\to -\infty }{\lim }{x}^3\cdot x^4\left(2-\frac{1}{x^3}\right)=\underset{x\to -\infty }{\lim }{x}^7\left(2-\frac{1}{x^3}\right)=\dots$  

obliczamy granicę, korzystając z własności granic (ujętych w ramce):

$\dots =\underset{x\to -\infty }{\lim }{x}^7\cdot \underset{x\to -\infty }{\lim }\left(2-\frac{1}{x^3}\right)=\left[-\infty \cdot \left(2-0\right)\right]=-\infty$  

---

b)

I SPOSÓB

Mamy obliczyć

$\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(3x^5+3x\right)\left(5-x^3\right)$  

Zauważmy, że

• $\underset{x\to +\infty }{\lim }\text{(}\underset{\underset{+\infty }{\downarrow }}{\underbrace{3x^5}}+\underset{\underset{+\infty }{\downarrow }}{\underbrace{3x}}\text{)}=+\infty$
• $\underset{x\to +\infty }{\lim }\text{(}\underset{\underset{5}{\downarrow }}{\underbrace{5}}-\underset{\underset{+\infty }{\downarrow }}{\underbrace{x^3}}\text{)}=-\infty$  

Zatem, korzystając z własności granic (ujętych w ramce), otrzymujemy

$\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(3x^5+3x\right)\left(5-x^3\right)=\left[\left(+\infty \right)\cdot \left(-\infty \right)\right]=-\infty$  

---

II SPOSÓB

Wyłączamy przed nawias x w najwyższej potędze:

$\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(3x^5+3x\right)\left(5-x^3\right)=\underset{x\to +\infty }{\lim }{x}^5\left(3+\frac{3}{x^4}\right)x^3\left(\frac{5}{x^3}-1\right)=\underset{x\to +\infty }{\lim }{x}^8\left(3+\frac{3}{x^4}\right)\left(\frac{5}{x^3}-1\right)=\dots$

obliczamy granicę, korzystając z własności granic (ujętych w ramce):

$\dots =\underset{x\to +\infty }{\lim }{x}^8\cdot \underset{x\to +\infty }{\lim }\left(3+\frac{3}{x^4}\right)\cdot \underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\frac{5}{x^3}-1\right)=\left[+\infty \cdot \left(3+0\right)\cdot \left(0-1\right)\right]=-\infty$  

---

III SPOSÓB

Szukając granicy funkcji wielomianowej w +∞, wystarczy zwrócić uwagę na znak współczynnika najwyższej potędze zmiennej x, ponieważ

$a_n>0\Rightarrow \underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=+\infty$  
$a_n<0\Rightarrow \underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=-\infty$  

Zatem mamy

$\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(3x^5+3x\right)\left(5-x^3\right)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\text{(}\underset{>0}{3}{x}^5+3x\text{)}\cdot \underset{x\to +\infty }{\lim }\text{(}5\underset{<0}{-1}{x}^3\text{)}=\left[\left(+\infty \right)\cdot \left(-\infty \right)\right]=-\infty$  

---

c)

I SPOSÓB

Wyłączamy przed nawias x w najwyższej potędze:

$\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(2x^4+x^3+x^2\right)\left(x^5+x-3\right)=\underset{x\to +\infty }{\lim }{x}^4\left(2+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}\right)x^5\left(1+\frac{1}{x^4}-\frac{3}{x^5}\right)=$

$=\underset{x\to +\infty }{\lim }{x}^9\left(2+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}\right)\left(1+\frac{1}{x^4}-\frac{3}{x^5}\right)=\dots$  

obliczamy granicę, korzystając z własności granic (ujętych w Twierdzeniu w ramce):

$\dots =\underset{x\to +\infty }{\lim }{x}^9\cdot \underset{x\to +\infty }{\lim }\left(2+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}\right)\cdot \underset{x\to +\infty }{\lim }\left(1+\frac{1}{x^4}-\frac{3}{x^5}\right)=$

$=\left[+\infty \cdot \left(2+0+0\right)\cdot \left(1+0-0\right)\right]=+\infty$   

---

II SPOSÓB

Szukając granicy funkcji wielomianowej w +∞, więc zwracamy uwagę na znak współczynnika najwyższej potędze zmiennej x. Mamy więc

$\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(2x^4+x^3+x^2\right)\left(x^5+x-3\right)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\text{(}\underset{>0}{2}{x}^4+x^3+x^2\text{)}\cdot \underset{x\to +\infty }{\lim }\text{(}\underset{>0}{1}{x}^5+x-3\text{)}=$

$=\left[\left(+\infty \right)\cdot \left(+\infty \right)\right]=+\infty$   

---

d)

I SPOSÓB

Mamy obliczyć

$\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(2x^7+x^3-1\right)\left(x^5-x^2+x\right)$  

Zauważmy, że

• $\underset{x\to -\infty }{\lim }\text{(}\underset{\underset{-\infty }{\downarrow }}{\underbrace{2x^7}}+\underset{\underset{-\infty }{\downarrow }}{\underbrace{x^3}}-\underset{\underset{1}{\downarrow }}{\underbrace{1}}\text{)}=-\infty$
• $\underset{x\to -\infty }{\lim }\text{(}\underset{\underset{-\infty }{\downarrow }}{\underbrace{x^5}}-\underset{\underset{+\infty }{\downarrow }}{\underbrace{x^2}}+\underset{\underset{-\infty }{\downarrow }}{\underbrace{x}}\text{)}=-\infty$  

Zatem, korzystając z własności granic (ujętych w ramce), otrzymujemy

$\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(2x^7+x^3-1\right)\left(x^5-x^2+x\right)=\left[\left(-\infty \right)\cdot \left(-\infty \right)\right]=+\infty$  

---

II SPOSÓB

Wyłączamy przed nawias x w najwyższej potędze, a następnie obliczamy granicę, korzystając z własności granic.

$\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(2x^7+x^3-1\right)\left(x^5-x^2+x\right)=\underset{x\to -\infty }{\lim }{x}^7\left(2+\frac{1}{x^4}-\frac{1}{x^7}\right)x^5\left(1-\frac{1}{x^3}+\frac{1}{x^4}\right)=$

$=\underset{x\to -\infty }{\lim }{x}^{12}\left(2+\frac{1}{x^4}-\frac{1}{x^7}\right)\left(1-\frac{1}{x^3}+\frac{1}{x^4}\right)=$

$=\underset{x\to -\infty }{\lim }{x}^{12}\cdot \underset{x\to -\infty }{\lim }\left(2+\frac{1}{x^4}-\frac{1}{x^7}\right)\cdot \underset{x\to -\infty }{\lim }\left(1-\frac{1}{x^3}+\frac{1}{x^4}\right)=\left[+\infty \cdot 2\cdot 1\right]=+\infty$  

---

e)

I SPOSÓB

Wyłączamy przed nawias x w najwyższej potędze:

$\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(-3x^5-x^2+1\right)\left(5-x^3-2x\right)=\underset{x\to +\infty }{\lim }{x}^5\left(-3-\frac{1}{x^3}+\frac{1}{x^5}\right)x^3\left(\frac{5}{x^3}-1-\frac{2}{x^2}\right)=\dots$

obliczając granicę, możemy stosować uproszczony zapis

$\dots =\underset{x\to +\infty }{\lim }\underset{{}_{\begin{array}{c}{}_{\downarrow }\\ {}^{+\infty }\end{array}}}{\underbrace{x^8}}\underset{{}_{\begin{array}{c}{}_{\downarrow }\\ {}^{-3}\end{array}}}{\underbrace{\left(-3-\frac{1}{x^3}+\frac{1}{x^5}\right)}}\underset{{}_{\begin{array}{c}{}_{\downarrow }\\ {}^{-1}\end{array}}}{\underbrace{\left(\frac{5}{x^3}-1-\frac{2}{x^2}\right)}}=+\infty$   

---

II SPOSÓB

Szukając granicy funkcji wielomianowej w +∞, więc zwracamy uwagę na znak współczynnika najwyższej potędze zmiennej x. Mamy więc

$\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(-3x^5-x^2+1\right)\left(5-x^3-2x\right)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\text{(}\underset{<0}{-3}{x}^5-x^2+1\text{)}\cdot \underset{x\to +\infty }{\lim }\text{(5}\underset{<0}{-1}{x}^3-2x\text{)}=$

$=\left[\left(-\infty \right)\cdot \left(-\infty \right)\right]=+\infty$   

---

f)

I SPOSÓB

Mamy obliczyć

$\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(4x^2-5x^5\right)\left(3x^7-2\right)$  

Zauważmy, że

• $\underset{x\to -\infty }{\lim }\text{(}\underset{\underset{+\infty }{\downarrow }}{\underbrace{4x^2}}-\underset{\underset{-\infty }{\downarrow }}{\underbrace{5x^5}}\text{)}=\left[\left(+\infty \right)-\left(-\infty \right)\right]=+\infty$
• $\underset{x\to -\infty }{\lim }\text{(}\underset{\underset{-\infty }{\downarrow }}{\underbrace{3x^7}}-\underset{\underset{2}{\downarrow }}{\underbrace{2}}+\underset{\underset{-\infty }{\downarrow }}{\underbrace{x}}\text{)}=\left[-\infty -2\right]=-\infty$  

Zatem, korzystając z własności granic (ujętych w ramce), otrzymujemy

$\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(4x^2-5x^5\right)\left(3x^7-2\right)=\left[\left(-\infty \right)\cdot \left(-\infty \right)\right]=+\infty$  

---

II SPOSÓB

Wyłączamy przed nawias x w najwyższej potędze. Obliczając granice, możemy stosować uproszczony zapis.

$\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(4x^2-5x^5\right)\left(3x^7-2\right)=\underset{x\to -\infty }{\lim }\underset{{}_{\begin{array}{c}{}_{\downarrow }\\ {}^{-\infty }\end{array}}}{\underbrace{x^5}}\underset{{}_{\begin{array}{c}{}_{\downarrow }\\ {}^{-5}\end{array}}}{\underbrace{\left(\frac{4}{x^3}-5\right)}}\underset{{}_{\begin{array}{c}{}_{\downarrow }\\ {}^3\end{array}}}{\underbrace{\left(3x^7-2\right)}}=+\infty$