Dane jest równanie...- Zadanie 11.64: Prosto do matury 4. Zakres podstawowy i rozszerzony

Rozwiązanie

Rozważmy równanie

$x^{2} + (m - 5) x + m^{2} + m + \frac{1}{4} = 0$

Zauważmy, że aby istniały pierwiastki tego równania

$Δ \geq 0$

Stąd

$(m - 5)^{2} - 4 \cdot (m^{2} + m + \frac{1}{4}) \geq 0$

$m^{2} - 10 m + 25 - 4 m^{2} - 4 m - 1 \geq 0$

$- 3 m^{2} - 14 m + 24 \geq 0$

$Δ_{m} = (- 14)^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot 24 = 196 + 288 = 484, Δ_{m} = 22$

$m = \frac{14 - 22}{- 6} = \frac{4}{3} \lor m = \frac{14 + 22}{- 6} = - 6$

Zatem rozważamy

$m \in ⟨ - 6, \frac{4}{3} ⟩$

Zapiszmy stosunek sumy pierwiastków do iloczynu stosując wzory Viete'a

$S (m) = \frac{x _{1} + x _{2}}{x _{1} x _{2}} = \frac{- \frac{b}{a}}{\frac{c}{a}} = - \frac{b}{c} = - \frac{m - 5}{m ^{2} + m + \frac{1}{4}} = \frac{5 - m}{m ^{2} + m + \frac{1}{4}}, m \in ⟨ - 6, \frac{4}{3} ⟩$

Gdzie

$m^{2} + m + \frac{1}{4} \neq = 0$

$4 m^{2} + 4 m + 1 \neq = 0$

$(2 m + 1)^{2} \neq = 0$

$m \neq = - \frac{1}{2}$

Uwzględniając to rozważamy

$m \in ⟨ - 6, - \frac{1}{2}) \cup (- \frac{1}{2}, \frac{4}{3} ⟩$

Zatem mamy funkcję wyrażającą stosunek. Chcemy znaleźć minimum. Policzmy pochodną

$S^{'} (m) = \frac{( 5 - m ) ^{'} \cdot ( m ^{2} + m + \frac{1}{4} ) - ( 5 - m ) \cdot ( m ^{2} + m + \frac{1}{4} ) ^{'}}{( m ^{2} + m + \frac{1}{4} ) ^{2}} = \frac{- ( m ^{2} + m + \frac{1}{4} ) - ( 2 m + 1 ) ( 5 - m )}{( m ^{2} + m + \frac{1}{4} ) ^{2}} = \frac{- m ^{2} - m - \frac{1}{4} - ( 10 m + 5 - m - 2 m ^{2} )}{( m ^{2} + m + \frac{1}{4} ) ^{2}} = \frac{- m ^{2} - m - \frac{1}{4} + 2 m ^{2} - 9 m - 5}{( m ^{2} + m + \frac{1}{4} ) ^{2}} = \frac{m ^{2} - 10 m - 5 \frac{1}{4}}{( m ^{2} + m + \frac{1}{4} ) ^{2}}$

Stąd

$S^{'} (m) = 0$

$\frac{m ^{2} - 10 m - 5 \frac{1}{4}}{( m ^{2} + m + \frac{1}{4} ) ^{2}} = 0, (m^{2} + m + \frac{1}{4})^{2} > 0 dla m \in ⟨ - 6, - \frac{1}{2}) \cup (- \frac{1}{2}, \frac{4}{3} ⟩$

Równoważnie rozważymy

$m^{2} - 10 m - 5 \frac{1}{4} = 0$

$Δ_{m} = (- 10)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 5 \frac{1}{4}) = 100 + 21 = 121, Δ_{m} = 11$

$m = \frac{10 - 11}{2} = - \frac{1}{2} \lor m = \frac{10 + 11}{2} = \frac{21}{2}$

Biorąc pod uwagę

$m \in ⟨ - 6, - \frac{1}{2}) \cup (- \frac{1}{2}, \frac{4}{3} ⟩$

mamy

$\frac{21}{2} \in / ⟨ - 6, - \frac{1}{2}) \cup (- \frac{1}{2}, \frac{4}{3} ⟩$

Mamy znak pochodnej

$S^{'} (m) > 0 : (- 6, - \frac{1}{2}) \to funkcja ro \overset{s}{ˊ} nie$

$S^{'} (m) < 0 : (- \frac{1}{2}, \frac{4}{3}) \to funkcja maleje$

Zatem minimum może być na końcu przedziału, gdzie funkcja jest określona

Dla m=-6

$S (- 6) = \frac{5 + 6}{( - 6 ) ^{2} - 6 + \frac{1}{4}} = \frac{11}{36 - 6 + \frac{1}{4}} = \frac{11}{30 + \frac{1}{4}} = \frac{44}{121} = \frac{4}{11}$

Dla m=⁴/₃

$S (\frac{4}{3}) = \frac{5 - \frac{4}{3}}{( \frac{4}{3} ) ^{2} + \frac{4}{3} + \frac{1}{4}} = \frac{3 \frac{2}{3}}{\frac{16}{9} + \frac{4}{3} + \frac{1}{4}} = \frac{11}{3} : (\frac{16}{9} + \frac{12}{9} + \frac{1}{4}) = \frac{11}{3} : (\frac{28}{9} + \frac{9}{36}) = \frac{11}{3} : (\frac{112}{36} + \frac{9}{36}) = \frac{11}{3} : \frac{121}{36} = \frac{11}{3} \cdot \frac{36}{121} = \frac{12}{11}$