Rozważmy równanie w postaci

$x^3-3x=m$  

Przyjmijmy

$f\left(x\right)=x^3-3x,D_f=\mathbb{R}$  

Będziemy rozpatrywać kiedy równanie

$f\left(x\right)=m$  

ma trzy rozwiązania.

---

Zbadajmy przebieg zmienności funkcji f, aby naszkicować jej wykres. Mamy

$f\left(x\right)=0$  

$x^3-3x=0$

$x\left(x^2-3\right)=0$

Stąd

$x=0\vee x^2=3$    

$x=0\vee x=\sqrt{3}\vee x=-\sqrt{3}$    

Mamy dwa miejsca zerowe: x=0, x=√3 i x=-√3.

Obliczmy pochodną funkcji f.

$f{}^{\prime }\left(x\right)=3x^2-3=3\left(x^2-1\right)$  

Stąd

$f{}^{\prime }\left(x\right)=0$

$3\left(x^2-1\right)=0$

  $3\left(x-1\right)\left(x+1\right)=0$

Zauważmy, że

$f{}^{\prime }\left(x\right)>0:\left(-\infty ,-1\right)\cup \left(1,+\infty \right)$  

$f{}^{\prime }\left(x\right)<0:\left(-1,1\right)$

Zatem wnioskujemy, że funkcja f jest

• rosnąca na przedziałach (-∞,-1), (1,∞)
• malejąca na przedziale (-1,1)

W takim razie w punkcie x = -1 mamy maksimum i wynosi ono

$y=f\left(-1\right)={\left(-1\right)}^2-3\cdot \left(-1\right)==1+3=2$  

a w punkcie x = 1 mamy minimum i wynosi ono

$y=f\left(1\right)=1^3-3\cdot 1=1-3=-2$  

Zatem na podstawie naszej analizy zeszkicujmy wykres funkcji f.

---

Rozważamy równanie

$f\left(x\right)=m\left(\ast \right)$  

i zastanawiamy się kiedy ma 3 rozwiązania. Zauważmy, że prawa strona tego równania to funkcja liniowa o wykresie będącym prostą poziomą. Stąd łatwo wywnioskować, że dla

$\underline{\underline{m\in \left(-1,2\right)}}$  

równanie ( * ) będzie miało 3 rozwiązania, ponieważ prosta y=m przetnie wykres f trzykrotnie.