Zapiszmy dane zadania dotyczące ciągu geometrycznego. Suma trzech początkowych wyrazów

$S_3=\frac{a_1\left(1-q^3\right)}{1-q}=21$  

Wiemy też, że

$S=\frac{a_1}{1-q}=24$  

To znaczy, że również musi zachodzić |q|<1.

---

Obliczmy

$\{\begin{array}{l}\frac{a_1\left(1-q^3\right)}{1-q}=21\\ \frac{a_1}{1-q}=24\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}\frac{a_1\left(1-q^3\right)}{\left(1-q\right)}=21\\ \frac{a_1}{1-q}=24\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}\frac{a_1}{1-q}\cdot \left(1-q^3\right)=21\\ \frac{a_1}{1-q}=24\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}24\cdot \left(1-q^3\right)=21\\ \frac{a_1}{1-q}=24\end{array}$  

Rozwiążmy równanie

$24\cdot \left(1-q^3\right)=21$  

$24-24q^3=21\mid -21$  

$3-24q^3=0\mid :\left(-3\right)$  

$8q^3-1=0$  

$\left(2q-1\right)\left(4q^2+2q+1\right)=0$  

Stąd

$2q-1=0$  

$q=\frac{1}{2}$  

Ta wartość spełnia nierówność |q|<1. Obliczmy

$a_1=24\left(1-q\right)=24\left(1-\frac{1}{2}\right)=12$  

---

Z treści zadania zachodzi też

$a_5=b_5=b_3+2r=a_3+2r$   

Stad

$2r=a_5-a_3$  

Obliczmy wyrazy ciągu arytmetycznego

$b_3=a_3=a_1{q}^2=12\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^2=12\cdot \frac{1}{4}=3$  

$b_5=a_5=a_1{q}^4=12\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^4=12\cdot \frac{1}{16}=\frac{3}{4}$  

Stąd

$2r=\frac{3}{4}-3$  

$2r=-\frac{9}{4}$  

$r=-\frac{9}{8}$  

Zatem z

$b_3=b_1+2r$

wynika, że

$b_1=b_3-2r$   

Mamy zatem

$b_1=3-2\cdot \left(-\frac{9}{8}\right)=3+\frac{9}{4}=\frac{21}{4}$  

Suma 25 początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego (b_n)  wynosi

$S_{25}=\frac{2\cdot \frac{21}{4}+\left(25-1\right)\cdot \left(-\frac{9}{8}\right)}{2}\cdot 25=\frac{\frac{21}{2}+24\cdot \left(-\frac{9}{8}\right)}{2}\cdot 25=\frac{\frac{21}{2}-27}{2}\cdot 25=\frac{-\frac{33}{2}}{2}\cdot 25=-\frac{33\cdot 25}{4}=-\frac{825}{4}$