a) Podstawiając do równania okręgu współrzędne punktu B mamy:

${\left(0-a\right)}^2+{\left(8-b\right)}^2=r^2$  

$a^2+{\left(8-b\right)}^2=r^2$  

Podstawiając do równania okręgu współrzędne punktów A i C mamy:

$\{\begin{array}{l}{\left(7-a\right)}^2+{\left(7-b\right)}^2=r^2\\ {\left(-2-a\right)}^2+{\left(4-b\right)}^2=r^2\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}{\left(7-a\right)}^2+{\left(7-b\right)}^2=a^2+{\left(8-b\right)}^2\\ {\left(-2-a\right)}^2+{\left(4-b\right)}^2=a^2+{\left(8-b\right)}^2\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}49-14a+a^2+49-14b+b^2=a^2+64-16b+b^2\\ 4+4a+a^2+16-8b+b^2=a^2+64-16b+b^2\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}-14a+2b=-34\\ 4a+8b=44\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}b=-17+7a\\ a+2b=11\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}b=-17+7a\\ a-34+14a=11\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}b=-17+7a\\ 15a=45\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}b=-17+7a\\ a=3\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}b=4\\ a=3\end{array}$  

oraz

$r^2=a^2+{\left(8-b\right)}^2$  

$r^2=3^2+{\left(8-4\right)}^2$  

$r^2=9+16$  

$r^2=25$  

$r=5$  

Równanie okręgu:

${\left(x-3\right)}^2+{\left(y-4\right)}^2=25$  

---

Wyznaczmy równanie stycznej do tego okręgu w punkcie M.

$M=\left(3,9\right)$  

Zauważmy, że punkt M należy do tego okręgu, ponieważ:

${\left(3-3\right)}^2+{\left(9-4\right)}^2=25$  

$25=25$  

Zauważmy, że środek okręgu to

$O=\left(3,4\right)$  

Zatem prosta styczna do tego okręgu przechodząca przez punkt M jest prostopadła do prostej x=3, zatem jest to prosta postaci

$y=b$  

Podstawiając współrzędne punktu M mamy:

$b=9$  

Zatem jest to prosta:

$y=9$  

---

---

b) Skorzystamy ze wzoru

$P_{ABC}=\frac{1}{2}\left|\left(x_B-x_A\right)\left(y_C-y_A\right)-\left(y_B-y_A\right)\left(x_C-x_A\right)\right|$

Mamy

$P_{ABC}=\frac{1}{2}\left|\left(0-7\right)\left(4-7\right)-\left(8-7\right)\left(-2-7\right)\right|=\frac{1}{2}\left|\left(-7\right)\cdot \left(-3\right)-\left(-9\right)\right|=\frac{1}{2}\left|21+9\right|=\frac{1}{2}\cdot 30=15$